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In Kreis einbeschriebenes Dreieck
Schüler
Tags: Dreieck, Kreis, Mittelpunkt, Wahrscheinlichkeit
 
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Hallo zusammen, habe hier eine "Knobelaufgabe" gefunden, bei der ich nicht recht weiter komme: Wählt man drei beliebige Punkte auf einem Kreis wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass der Mittelpunkt des Kreises im Innern des Dreiecks liegt? Mein bisheriger Gedankengang: Ich wähle den 1. Eckpunkt A beliebig auf dem Kreis. Den zweiten Eckpunkt wähle ich dann wenn man sich von A aus gegen den Uhrzeigersinn auf dem Kreis bewegt, ebenso. Angenommen, der Mittelpunkt liegt im Ursprung eines Kosys. Damit teilt sich der Kreis in vier Kreisteile. Dann wähle ich A im Schnittpunkt von Kreis und positiver x-Achse. Fallunterscheidung: 1. liegt im I. oder 2. Quadranten. Dann gilt mit 1. Pfadregel: Macht man entsprechende Skizzen, sieht man, dass p_C=Länge des Kreisbogens AB/Kreisumfang=Länge Kreisbogen AB/2*r*pi und liegt zwischen 0 und Ab hier komme ich nicht mehr weiter. Wie kann ich als konkreten Wert ausdrücken, damit sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen lässt? Für eure Hilfe wäre ich euch sehr dankbar. Viele Grüße, Emil3 Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff) Kreis (Mathematischer Grundbegriff) Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks Flächeninhalte Grundbegriffe der ebenen Geometrie Kreis und Mittelsenkrechte Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks Flächeninhalte Grundbegriffe der ebenen Geometrie Kreis und Mittelsenkrechte |
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Ein anderer Ansatz: Bei allen Dreiecken, in denen ein Winkel größer als ° ist, liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks. mfG Atlantik |
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Hallo, stelle Dir den ersten Quadranten eines Koordinatensystems vor (oder besser skizziere es Dir parallel zum Lesen hier), dessen beide Achsen von bis beschriftet sind. Dann verbindest Du die beiden Punkte und miteinander. Wenn Du ein beliebiges Dreieck zeichnen willst, dann kannst Du für einen Winkel einen beliebigen Wert zwischen und wählen. Für den zweiten Winkel bist Du schon etwas eingeschränkt, denn Du darfst in der Summe nicht auf kommen. Wenn Du den zweiten Winkel mit dieser Einschränkung gewählt hast, dann bilden diese beiden Winkel in der Reihenfolge Deiner Wahl einen Punkt in Deinem Koordinatensystem und zwar innerhalb des Dreiecks (ohne Rand), das durch die beiden Koordinaten und die vorhin eingezeichnete Verbindungsstrecke gebildet wird. Umgedreht kannst Du jedem Punkt aus dem Dreiecksinneren ein Dreieck mit drei gleichen Winkeln zuordnen. Wir sind uns einig, dass man alle ähnlichen Dreiecke, die ja drei gleiche Winkel haben, anhand ihrer größten Seite eindeutig machen kann. So bilden wir . alle Dreiecke mit einer größten Seite von 1cm in unser Koordinatensystem ab. So gibt es für jede längste Seite ein eigenes Koordinatensystem, in dem das selbe Dreieck abgebildet ist und da die Lage des Kreismittelpunktes nur von den Winkeln abhängt, wird am Ende in jedem dieser Koordinatensystem der selbe Anteil mit Mittelpunkt im inneren des Dreiecks sein, wie bei unserem 1cm. Also konzentrieren wir uns auf die Dreiecke mit maximaler Seitenlänge gleich 1. Die drei Winkel eines Dreiecks können ja bei gleicher Größe in unterschiedlicher Reihenfolge und mit unterschiedlichem Anfang oder auf unterschiedlichste Art und Weise in das Koordinatensystem abgebildet werden. Aber so lange die drei Winkel unterschiedlich sind, ist die Anzahl der möglichen Eintragungen für alle Dreiecke gleich und wenn ich alle Dreiecke gleich oft zähle, so ist am Ende das Verhältnis zwischen denen mit dem Mittelpunkt innen und dem Mittelpunkt aussen immer noch gleich. Was ist mit den Dreiecken, die mehrere gleiche Winkel haben? Am einfachsten ist das mit dem Dreieck erklärt, das gleichseitig ist (also alle drei Winkel sind gleich), das ist in der Fläche einfach ein Punkt und wird bei der unendlichen Anzahl an anderen Dreiecken keine Veränderung im Verhältnis bewirken. Sind genau zwei Winkel gleich, so bilden die Dreiecke eine Gerade. . wenn die ersten beiden Winkel gleich groß gewählt wurden die Gerade vom Ursprung zur Mitte der vorhin eingezeichneten Strecke. Die beiden anderen Geraden gehen analog von den beiden anderen Ecken zur Mitte der gegenüberliegenden Dreiecksseite. Auch hier bemühen wir die Maßtheorie und sagen, dass diese Anzahl an Dreiecken verschwindend gering ist gegenüber allen Dreiecken und das Verhältnis nicht beeinflussen. Jetzt sind wir an der Stelle angelangt, dass wir sagen können, dass wir jedes Dreieck mit einer maximalen Seitenlänge von 1cm bis auf Kongruenz (Drehung und Spiegelung) eindeutig einem von 6 Punkten zuordnen können und jeder der 6 Punkte einem Dreieck zugeordnet werden kann, das bis auf Drehung und Spiegelung eindeutig ist. Wenn wir jetzt in diesem Koordinatensystem die Fläche ausmachen können, in der der Mittelpunkt des Umkreises innerhalb des Dreiecks liegt, so können wir mittels der Flächen die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass der Umkreismittelpunkt im Dreieck liegt. Ganz offensichtlich fällt die Fläche einschließlich der Trenngeraden weg, die rechts neben dem Winkel von liegt. Analog fällt die Fläche einschließlich der Trenngeraden weg, die oberhalb des Winkels liegt. Aber auch das Dreieck aus dem Koordinatenursprung und den Punkten und fällt dafür weg, da hier der dritte, nicht eingezeichnete Winkel größer als wird. Letztendlich verbleibt genau der gesamten Fläche innerhalb des Dreiecks, gebildet aus den Punkten und übrig. Deshalb liegt die Wahrscheinlichkeit, dass der Umkreismittelpunkt innerhalb des Dreiecks liegt, bei Gleichwahrscheinlichkeit aller Dreiecke, bei . |
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Vielen Dank für eure beiden Antworten! Ein Schritt in der Lösung erschließt sich mir noch nicht und zwar, was mit den "6 Punkten" gemeint ist... Viele Grüße, Emil3 |
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Hallo, ein Dreieck mit dem Winkeln und kann ich in dem Tableau mehrfach finden, es ist eben nicht eindeutig zu finden. Ich kann es finden bei und bei weil ein solches Dreieck keinen Anfang und ein Ende hat, ich jeden der drei Winkel al ersten, den in mathematisch positiver Richtung nächsten als zweites hernehmen kann. Aber ich kann das Dreieck auch Spiegeln und erhalte so noch 3 weitere Punkte: und . Ich kann also jedes Dreieck 6 Mal eintragen, aber da ich das mit jedem Dreieck machen kann, ändert sich das Verhältnis zwischen den beiden Gruppen nicht. Genauso kann ich aus einem Punkt 6 Dreiecke, wenn man eine horizontale Grundseite annimmt, konstruieren, denn ich kann das Dreieck drehen und spiegeln. |
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Jetzt hab ichs verstanden. Vielen Dank für die ausführliche Erklärung! |
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