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Jede Stammfunktion auch Integralfunktion?

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Analysis, Integral, Integralfunktion, MATH, Stammfunktion

 
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LeonLoepp

LeonLoepp aktiv_icon

21:23 Uhr, 04.02.2017

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Hallo,

es geht um die Frage, ob jede Stammfunktion von f(x)=-cos(2x) (Df=R) zugleich auch Integralfunktion ist. Wie lässt sich die Antwort erklärem?

Meine Ideen:
Dies ist natürlich falsch, da bei F(x)=-sin(2x)2+C nicht immer eine Nullstelle, die eben bei a der Integralfunktion wäre, ist. Wie finde ich nun mathematisch heraus, für welches C die Stammfunktion eine Integralfunktion ist?
Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
mihisu

mihisu aktiv_icon

21:53 Uhr, 04.02.2017

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Du hast ja schon richtig erkannt, dass es darauf ankommt, ob F eine Nullstelle hat.
Überprüfe für welches C die Stammfunktion F eine Nullstelle hat:

-sin(2x)2+C=0    ⇔    sin(2x)=-2⋅C

Diese Gleichung ist genau dann lösbar, wenn -2⋅C∈[-1,1] ist:

-2⋅C∈[-1,1]    ⇔    C∈[-12,12]

F ist also genau dann Stammfunktion zu f, wenn C∈[-12,12] ist.

In solch einem Fall (C∈[-12,12]) ist beispielsweise x0:=12⋅arcsin(-2⋅C) eine Nullstelle und dementsprechend F(x)=∫x0xf(t)dt.

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Frage beantwortet
LeonLoepp

LeonLoepp aktiv_icon

22:44 Uhr, 05.02.2017

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Tausend Dank!
Antwort
mihisu

mihisu aktiv_icon

23:44 Uhr, 05.02.2017

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Mir ist gerade aufgefallen, dass ich mich verrechnet habe. Das -2⋅C müsste jeweils ein 2⋅C sein. Das ändert dann aber am Ende nicht am Ergebnis C∈[-12,12].