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Kosten, Einnahmen, Gewinn

Universität / Fachhochschule

Tags: Kosten, Kostenberechnung, Quadratische Funktion

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12:37 Uhr, 23.02.2012

Eine Mathematiklehrerin ermittelt für ein Unternehmen und eines seiner Produkte ein mathem. Modell, mit dem Kosten, Einnahmen und Gewinn (bzw. Verlust) berechnet werden können. Die Gesamtkosten des Unternehmens für das Produkt lassen sich für

x

Mengeneinheiten

(100

Stück) annähernd durch die quadratische Funktion

K (x) = 25 x^{2} + 50 x + 250

beschreiben.

K (x)

gibt die Kosten in Euro an. Da für eine Mengeneinheit ein Verkaufspreis von

500

€ erzielt wird, ergibt sich für die Einnahmen (Erlös) die lineare Funktion

E (x) = 500 x

.
Die Mathematikerin weist darauf hin, dass das mathematische Modell nur für Mengeneinheiten bis

x = 15

sinnvoll ist.

a)

Stelle

K (x)

und

E (x)

grafisch dar.

b)

Der Gewinn ergibt sich, wenn die Kosten von den Einnahmen abgezogen werden. Ermittle die Gewinnfunktion

G (x)

. Stelle sie in einem sinnvollen Intervall grafisch dar.

c)

Für welche Stückzahl ist der Gewinn am größten? Wie hoch ist er dann?

d)

Negativer Gewinn bedeutet Verlust für das Unternehmen. Lies aus dem Graphen bzw. der Tabelle ungefähr ab, bei welchen Stückzahlen die Firma ein Minus schreibt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen
Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Underfaker aktiv_icon

12:48 Uhr, 23.02.2012

Nett aufgeschrieben.

Leider sehe ich nur und ausschließlich die Aufgabenstellung, keinerlei eigenes Zutun von dir.

Also was hast du denn bisher schon selbst gemacht, ein paar Sachen davon sind ja sehr einfach und es steht schon dort was du machen sollst.
Wo liegen denn genau die Probleme?

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13:26 Uhr, 23.02.2012

K (x) = 25 x^{2} + 50 x + 250

E (x) = 500 x

Aufstellen einer Wertetabelle für die graph. Darstellung. Da nur bis

x = 15

sinnvoll, wähle ich für

x

Werte unter

15

.
Für

K (x) :

z

. B.

x = 1;

dann

y = 325

x = 4;

dann

y = 850

x = 10;

dann

y = 3250

x = 15;

dann

y = 6625

ergibt eine ansteigende Kurve!
Für

E (x) :

x = 1; y = 500

x = 4; y = 2000

x = 10; y = 5000

x = 15, y = 7500

erbit eine Gerade!

Ermittlung der Gewinnfunktion:

G (x) = 25 x^{2} + 50 x + 250 - 500 x

= 25 x^{2} - 450 x + 250

Stelle sie in einem sinnvollen Intervall grafisch dar? Wann ist das Intervall sinnvoll?
Jetzt weiß ich nicht mehr weiter.

Underfaker aktiv_icon

13:34 Uhr, 23.02.2012

Gewinn = Erlös - Kosten:

= 500 x - (25 x^{2} + 50 x + 250) = - 25 x^{2} + 450 x - 250

Du hast da falschrum gerechnet.

Du weißt doch bis wohin, das Ganze nur Sinn macht, nämlich bis

15

und ngetive Stückzahlen machen auch wenig Sinn, also ist klar in welchem Bereich du die Gewinnfunktion betrachten solltest, achte aber darauf das deine y-Achse entsprechend angepasst ist, denn die Werte werden extrem groß, du könntest wahlweise erst

c)

machen um zu sehen wo der höchste Punkt ist, dann kannst du dir das besser vorstellen.

Visocnik aktiv_icon

16:39 Uhr, 23.02.2012

Danke für den Tipp!Habe ich leider falsch angeschreiben.
Ich würde aus dem Graphen ablesen, dass bei 9 Stück der Gewinn am größtn ist.
Rechnerisch:

- 25 x^{2} + 450 x - 250

G

´ (x) = - 50 x + 450

0 = - 50 x + 450

x = 9

Leider hat meine Tochter die erste Ableitung noch nicht gelernt! Wie wäre das noch anders zu lösen?
Aus der Tabelle lese ich ab, dass ab

18

Stück Verlust geschrieben wird.

x = 17; y = 175

x = 18; y = - 250

Wie kann ich das rechnerisch ermitteln?

Underfaker aktiv_icon

16:47 Uhr, 23.02.2012

Die Gewinnzone ist ein Bereich nämlich genau der Bereich in dem die Funktion positive Werte annimmt.
Anders ausgedrückt, wo liegt der Graph oberhalb der x-Achse? Dort ist der Gewinn positiv, wo der Graph die x-Achse schneidet ist der Gewinn 0 und außerhalb dieses Bereiches logischerweise negativ.

Man berechne also einfach die Nullstellen der Gewinnfunktion und weiß in welchem Bereich der Gewinn positiv ist bzw. negativ.

Wenn du für die Berechnung der Nullstellen die pq-Formel verwendest ist das sehr hilfreich, hier kann man nämlich auch schon den x-Wert für den maximalen Gewinn ablesen: