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Kreisringstreifen Berechnung

Universität / Fachhochschule

Tags: Flächeninhalt, Geometrie, Umfang, Winkel

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09:41 Uhr, 09.07.2025

Ich suche für die folgende Form Umfang und Flächeninhalt.

Ein Kreisring wird von zwei parallelen Geraden, die den gleichen Abstand vom Mittelpunkt haben und innerhalb des inneren Kreises verlaufen, geschnitten. Die Form zwischen den beiden Geraden und innerhalb des Kreisrings (eine von beiden, in der Skizze die obere) nenne ich Kreisringstreifen.

Radius äußerer Kreis:

R

Radius innerer Kreis:

r

Abstand eines Streifens vom Mittelpunkt: a

Bisher habe ich Winkel, Höhe und Umfang berechnet:
θ = π/2

- 2

arctan( sqr(R²-a²)

/ a)

φ = π/2

- 2

arctan( sqr(r²-a²)

/ a)

h =

sqr(R²-a²) - sqr(r²-a²)

u = 2 \cdot (

R*θ

+

r*φ

+ h)

θ ist der Winkel zum äußeren Kreis, φ zum inneren, sqr ist die Quadratwurzel.
Stimmen diese Formeln?

Bei dem Flächeninhalt habe ich leider keine Ahnung, wie dieser berechnet wird.

Vielen Dank für die Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalt und Umfang eines Parallelogramms
Flächeninhalt und Umfang eines Trapezes
Flächeninhalte
Flächenmessung

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Roman-22

11:36 Uhr, 09.07.2025

In deinen Formeln für die Winkel müsste es

π

anstelle von

\frac{π}{2}

lauten.
Also

θ = π - 2 \cdot a r c t a n \frac{\sqrt{R^{2} - a^{2}}}{a}

.
Ich frage mich allerdings, warum so umständlich und nicht unter Verwendung der Umkehrung der Sinus-Funktion, also

θ = 2 \cdot a r c s i n \frac{a}{R}

.

Analog für

φ

.

Und für den Umfang gilt dann

u = 2 \cdot h + R \cdot θ + r \cdot φ

.

Du hast da offenbar halben und doppelten Winkel durcheinander gebracht.

Was den Flächeninhalt anlangt, so könntest du die Formel für den Kreisabschnitt ("Höhe"

R - a)

verwenden und die Fläche des Kreisabschnitts vom Halbkreis subtrahieren. Analog für den kleinen Kreis und die beiden Flächen dann noch subtrahieren und mal 2.

Oder per Integral

A = 2 \cdot \int_{0}^{a} [\sqrt{R^{2} - x^{2}} - \sqrt{r^{2} - x^{2}}] d x = a \cdot \sqrt{R^{2} - a^{2}} + R^{2} \cdot a r c s i n \frac{a}{R} - a \cdot \sqrt{r^{2} - a^{2}} - r^{2} \cdot a r c s i n \frac{a}{r}

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11:50 Uhr, 09.07.2025

Vielen Dank schon mal! Mit arcsin ist das natürlich einfacher.

Den Umfang habe ich zu

u =

R*θ

+

r*φ

+ 2 \cdot h

korrigiert.

Die Fläche werde ich versuchen, aus den einzelnen Kreissegmenten zusammen zu setzen.

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12:26 Uhr, 09.07.2025

Für den Flächeninhalt habe ich jetzt

A =

R²/2

\cdot (

θ - sin(θ)

) +

2a²/sin(θ)

\cdot

sin(π/2-θ)

- [

r²/2

\cdot (

φ - sin(φ)

) +

2a²/sin(φ)

\cdot

sin(π/2-φ)

]

(Oberes Kreissegment plus das Rechteck darunter bis zum Mittelpunkt) - (Unteres Kreissegment plus das Rechteck darunter bis zum Mittelpunkt)

Das scheint mir richtig zu sein, oder findet jemand einen Fehler?

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12:41 Uhr, 09.07.2025

Vielen Dank, die Flächenformel von Roman-22 bringt Ergebnisse, die mit meiner Skizze übereinstimmen, das scheint richtig zu sein, mein Versuch ist wohl falsch :-)

Roman-22

13:49 Uhr, 09.07.2025

>

mein Versuch ist wohl falsch :-)
Allerdings! Leider gibst du nicht an, wie du auf die eigenartige und falsche Formel kommst.
Nach deinen Ausführungen mit Kreisabschnitten und Rechtecken wäre das Folgende richtig:

A = \frac{R^{2}}{2} \cdot (θ - sin (θ)) + 2 \cdot a \cdot R \cdot sin (\frac{π - θ}{2}) - [\frac{r^{2}}{2} \cdot (φ - sin (φ)) + 2 \cdot a \cdot r \cdot sin (\frac{π - φ}{2})]

Das lässt sich natürlich noch vereinfachen, wenn du zB

sin (\frac{π}{2} - \frac{φ}{2}) = cos (\frac{φ}{2}) = \frac{\sqrt{r^{2} - a^{2}}}{r}

sin (φ) = 2 \cdot sin (\frac{φ}{2}) \cdot cos (\frac{φ}{2}) = 2 \cdot \frac{a}{r} \cdot \frac{\sqrt{r^{2} - a^{2}}}{r}

etc. nutzt.
Du kommst dann letztlich vermutlich auf die gleiche Formel wie ich mittels der Integration.

Du hast bei deiner Formel wieder Winkel und Halbwinkel durcheinander gebracht.
Du setzt verkomplizierend anstelle von

R

den Ausdruck

\frac{a}{sin θ},

aber richtig wäre

\frac{a}{sin (\frac{θ}{2})}

.
Und du verwendest wieder

\frac{π}{2} - θ

anstelle von

\frac{π}{2} - \frac{θ}{2}

jurii aktiv_icon

14:22 Uhr, 09.07.2025

Vielen Dank nochmals für die Antwort!

Meine Formel war (oberes Kreissegment

+

darunter liegendes Rechteck) - (unteres Kreissegment

+

darunter liegendes Rechteck)
Im Prinzip sollte das auch gehen, aber die Formel würde wohl unübersichtlicher als deine, auch wenn ich die Winkel korrekt hinkriege. Daher ist deine Formel besser.

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