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Kreissegmente schneiden

Universität / Fachhochschule

Tags: Geometrie, Kreissegment, Schnittpunkt

GeheimAgent001254 aktiv_icon

19:44 Uhr, 23.09.2023

Hallo,

gegeben zwei Kreisbögen

R_{1}, φ_{0}, φ_{1}; R_{2}, θ_{0}, θ_{1}

mit Mittelpunkten

(x_{1}, y_{1}); (x_{2}, y_{2})

möchte ich gerne einen Schnittpunkt bestimmen, wenn vorhanden.

Mein erster Ansatz war:

x_{1} + R_{1} \cdot a = x_{2} + R_{2} \cdot b

, wobei

a = \cos (φ), b = \cos (θ)

y_{1} + R_{1} \cdot \sqrt{1 - a^{2}} = y_{2} + R_{2} \cdot \sqrt{1 - b^{2}}

Allerdings kommt da laut WolframAlpha ein enormes Paket als Lösung raus.
Wirklich so komplex?
Falls nein, womit sollte ich am besten anfangen?

Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kreisteile: Berechnungen am Kreis
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

20:01 Uhr, 23.09.2023

Warum bleibst du nicht bei der Polardarstellung sonder nimmst die kartesische? du suchst doch möglichen

Φ

und

Θ

die in dem gesuchten Bereich liegen?
sind die Winkel und Radien als Zahlenwerte gegeben oder muss das allgemein sein?
ledum

GeheimAgent001254 aktiv_icon

20:11 Uhr, 23.09.2023

Bestens allgemein, ja.

Ich dachte das wäre noch Polardarstellung. Habe nur den Kosinus substituert. Weil mit den Funktionen wird es ja meist sehr komplex.

Roman-22

23:35 Uhr, 23.09.2023

Der Schnitt zweier Kreise in allgemeiner Lage wird symbolisch, also ohne konkrete Zahlen, vermutlich immer auf einen ähnlich aufgeblähten Ausdruck führen.
Da wird auch eine Darstellung in Polarkoordinaten nicht viel anders sein. Abgesehen davon bietet die Verwendung von Polarkoordinaten bei Kreisen in allgemeiner Lage ja vermutlich keine Vorteile.

Sowohl die Systeme

{(x - x_{1})}^{2} + {(y - y_{1})}^{2} = R_{1}^{2}

{(x - x_{2})}^{2} + {(y - y_{2})}^{2} = R_{2}^{2}

aufgelöst nach

x

und

y

als auch

x_{1} + R_{1} \cdot cos (φ) = x_{2} + R_{2} \cdot cos (θ)

y_{1} + R_{1} \cdot sin (φ) = y_{2} + R_{2} \cdot sin (θ)

aufgelöst nach

φ

und

θ

werden allgemein auf keine einfachen Ausdrücke führen.

In beiden Fällen ist dann ja auch noch zu prüfen, ob die Lösung(en) im gewünschten Bereich, also auf beiden Kreisbögen, liegen. Diese Prüfung ist sicher für Lösungen in

φ

und

θ

einfacher ;-)

GeheimAgent001254 aktiv_icon

09:41 Uhr, 24.09.2023

Ok

Wie löst es denn zum Beispiel ein Computer? Mit Näherungsverfahren?

calc007

11:07 Uhr, 24.09.2023

Tipp (den du eigentlich kennen solltest): www.onlinemathe.de/forum/Rundecken-Winkel-und-Mittelpunkt-bestimmen

Randolph Esser aktiv_icon

11:25 Uhr, 24.09.2023

Formel für Schnittpunke zweier Kreise im

R^{2}

GeheimAgent001254 aktiv_icon

11:26 Uhr, 24.09.2023

@calc007
Meinst du das mit den Transformationen?
Das habe ich gemacht, die Formel ist etwas einfacher aber ich denke nicht einfach genug als dass man sie verwenden sollte.

@KartoffelKäfer
Das versuche ich mal.

calc007

11:29 Uhr, 24.09.2023

Meinst du das mit zwei Kreissegmente schneiden?
Das ist eigentlich einfach, aber nicht einfach genug, dass man das machen sollte.

GeheimAgent001254 aktiv_icon

11:33 Uhr, 24.09.2023

Es ist ja immer die Frage, was es für Alternativen gibt.
Wenn man auf eine allgemeine Lösung verzichtet, sondern mit einem Algorithmus das berechnen kann, lohnt das vielleicht mehr.

GeheimAgent001254 aktiv_icon

11:33 Uhr, 24.09.2023

Es ist ja immer die Frage, was es für Alternativen gibt.
Wenn man auf eine allgemeine Lösung verzichtet, sondern mit einem Algorithmus das berechnen kann, lohnt das vielleicht mehr.

Roman-22

12:59 Uhr, 24.09.2023

>

Wie löst es denn zum Beispiel ein Computer? Mit Näherungsverfahren?
Das wäre eine Möglichkeit, aber der kann das auch ganz exakt - schließlich hat ein Computer kein Problem mit ellenlangen Ausdrücken wie zB jenem, den ich dir in den von calc007 zitierten Thread gepostet hatte.
Also - die Aufgabe ist exakt lösbar, es sind auch allgemeine Formeln für die Schnittpunkte zweier Kreise angebbar, jedoch sind diese für allgemeine Mittelpunkte und Radien der Ausgangskreise sehr lang und abschreckend, soferne man darauf besteht, dass in den Formeln nur die Angabeelemente (Mittelpunktkoordinaten und Radien) vorkommen sollen.
Sobald man dort dann konkrete Zahlen einsetzt, lassen sich die Ausdrücke aber meist stark vereinfachen oder auch je nach Bedarf in beliebiger Genauigkeit numerisch ausrechnen.

calc007

13:32 Uhr, 24.09.2023

Um das bereits Gesagte mal nochmals explizit vor Augen zu führen:

tan (α) = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

Somit die Kreismittelpunkte unter:

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} m \\ 0 \end{matrix})

mit

m = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

u-Koordinate der potenziellen Schnittpunkte:

u_{s} = \frac{R_{1}^{2} - R_{2}^{2} + m^{2}}{2 \cdot m}

v-Koordinaten der pot. Schnittpunkte:

v_{3; 4} = \pm \sqrt{R_{1}^{2} - u_{s}^{2}}

Rücktransformation:

x = x_{1} + u \cdot cos (α) - v \cdot sin (α)

y = y_{1} + u \cdot sin (α) + v \cdot cos (α)

Was daran "sehr lang und abschreckend" oder "nicht einfach genug" oder auch nur annähernd so komplex wie Kartoffelkäfers Gleichungen sein soll, das wissen die Götter.

GeheimAgent001254 aktiv_icon

13:53 Uhr, 24.09.2023

Ja, es ist alles nur nicht leicht nachzuvollziehen. Ich sehe die Lösungen, aber ich habe sie selbst noch nicht umgesetzt.

Ich habe jetzt einen Kreismittelpunkt als (0,0) definiert. Das wäre ja erstmal nur eine Verschiebung. Dann bleibt der Mittelpunkt des anderen Kreises übrig

(x_{0}, y_{0})

Dann habe ich mit den Substitutionen:

R = x_{0}^{2} + y_{0}^{2}; Δ R = R_{1}^{2} - R_{2}^{2}; Σ R = R_{1}^{2} + R_{2}^{2}; Π R = R_{1}^{2} R_{2}^{2}

Für die Schnittpunkte der Kreise

(x, y)

diese Ausdrücke:

x = \frac{x_{0}^{2} (R - Δ R) \mp y_{0}^{2} \sqrt{(R - Σ R)^{2} - 4 Π R}}{2 R}

y = \frac{y_{0}^{2} (R - Δ R) \pm x_{0}^{2} \sqrt{(R - Σ R)^{2} - 4 Π R}}{2 R}

Dann zu Polarkoordinten transformieren und Winkel prüfen.
Dann was übrig bleibt zurückschieben mit

(x_{1}, y_{1})

HAL9000

13:27 Uhr, 25.09.2023

Genau genommen kann man weite Teile der Rechnung auch elementargemetrisch durchführen, ohne Koordinatenbetrachtungen (sei es kartesisch oder polar):

Sei

l = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}

der Abstand der beiden Kreismittelpunkte

M_{1} = (x_{1}, y_{1})

und

M_{2} = (x_{2}, y_{2})

, dann existieren Schnittpunkt(e) der beiden Kreise genau dann wenn

R_{1}, R_{2}, l

die Dreiecksungleichung erfüllen. Ist das der Fall, so kann man für Schnittpunkt

P

via Kosinussatz

\cos ∣ ∠ \vec{M_{1} M_{2}}, \vec{M_{1} P}) = \frac{R_{1}^{2} + l^{2} - R_{2}^{2}}{2 R_{1} l} (1)

\cos ∣ ∠ \vec{M_{2} M_{1}}, \vec{M_{2} P}) = \frac{R_{2}^{2} + l^{2} - R_{1}^{2}}{2 R_{2} l} (2)

die beiden relativen Winkel berechnen. Über den Winkel von

\vec{M_{1} M_{2}}

zur

x

Koordinatenachse bekommt man dann auch die absoluten Winkel

φ

und

θ

heraus.

P.S.: Die Gültigkeit der Dreiecksungleichung ist genau dann gegeben, wenn in (1) der Wert recht im Intervall

[- 1, 1]

liegt. Dasselbe gilt für (2).

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