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Monotonie der Potenzfunktionen

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Monotonie

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12:38 Uhr, 24.11.2012

Moin Moin

Ich habe hier ein paar Probleme mit folgenden Aufgaben.

Zeigen Sie, dass folgende Funktionen streng monoton wachsend sind.

a: f:[0, unendlich) --> R, f(x) = x^k für k Element N
b: g:[0, unendlich) --> R, g(x) =

\sqrt[k]{x}

für k Element N

Habe kein Plan wie ich da anfangen soll. Meine Versuche führen alle zu nichts.

MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

12:47 Uhr, 24.11.2012

Sei

h > 0,

dann ist zu zeigen.

f (x + h) > f (x)

{(x + h)}^{k} > x^{k}

{(x + h)}^{k} = (\begin{matrix} k \\ 0 \end{matrix}) \cdot x^{k} + (\begin{matrix} k \\ 1 \end{matrix}) \cdot x^{k - 1} \cdot h + ... > (\begin{matrix} k \\ 0 \end{matrix}) \cdot x^{k} = x^{k}

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13:08 Uhr, 24.11.2012

Danke für die flotte Antwort.
Die Antwort ist mir noch nicht ganz klar. Könntest du es vielleicht ein bisschen erklären wie du auf den Lösungsweg gekommen bist ?

MfG

anonymous

17:37 Uhr, 24.11.2012

Sei

h > 0,

dann ist zu zeigen.

f (x + h) > f (x)

{(x + h)}^{k} > x^{k}

{(x + h)}^{k} = (\begin{matrix} k \\ 0 \end{matrix}) \cdot x^{k} + (\begin{matrix} k \\ 1 \end{matrix}) \cdot x^{k - 1} \cdot h + ... > (\begin{matrix} k \\ 0 \end{matrix}) \cdot x^{k} = x^{k}

Näheres zu Binomialkoeffizienten siehe:
http//de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient
Da

x > 0

und

k \in ℕ

und alle Binomialkoeffizienten

> 0

sind, ergibt sich obige Abschätzung.
Eine andere Methode wäre ein schrittweises Abschätzen.

x + h > x

(da

h > 0)

(x + h) \cdot (x + h) > x \cdot (x + h)

das Relationszeichen bleibt gleich, da

x > 0 \land h > 0

{(x + h)}^{2} > x \cdot (x + h) > x \cdot x = x^{2} \Rightarrow {(x + h)}^{2} > x^{2}

usw. bis

{(x + h)}^{k} > x^{k}

q . e . d

.
Oder man verwendet die - als bekannt vorausgesetzte - Monotonie der logarithmische Funktion an.

x + h > x

ln (x + h) > ln (x)

k \cdot ln (x + h) > k \cdot ln (x)

{ln (x + h)}^{k} > ln (x^{k})

{(x + h)}^{k} > x^{k}

oder

... .

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18:53 Uhr, 24.11.2012

Nochmal danke für die Mühe. Das sieht ja mal gut aus. Damit ist die erste Aufgabe geklärt. Hast du noch ein Tipp für die Aufgabe 2 ?

MfG

anonymous

19:02 Uhr, 24.11.2012

Oder mal was Anderes.

g (x) = \sqrt[k]{x} = x^{\frac{1}{k}}

g' (x) = \frac{1}{k} \cdot x^{(\frac{1}{k} - 1)}

g' (x)

ist im angegebenen Intervall für alle

k \in ℕ

postiv, daher monoton wachsend.

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19:04 Uhr, 24.11.2012

Ist es somit auch streng monoton wachsend ?

MfG

anonymous

19:16 Uhr, 24.11.2012

Die zuletzt angedachte Überlegung zeigt nur Monotonie.
Dann vielleicht auf

ln

ausweichen.

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19:30 Uhr, 24.11.2012

mh, dat dachte ich mir schon da die ableitung ja nicht aufzeigen kann ob zwischendurch die steigung regelmäßig verläuft oder nicht. nur die idee mit dem logarithmus verstehe ich nicht so ganz, steh nen biss aufm schlauch. kannste mir da auch nochma helfen ?

MfG

anonymous

19:39 Uhr, 24.11.2012

Die Funktion

f (x) = e^{x}

ist streng monoton wachsend, stetig.
Die Funktion

f (x) = ln (x)

ist für

x > 0

ebenfals streng monoton wachsend.

x > 0, h > 0

x + h > x

ln (x + h) > ln (x)

\frac{1}{k} \cdot ln (x + h) > \frac{1}{k} \cdot ln (x)

{ln (x + h)}^{\frac{1}{k}} > ln (x^{\frac{1}{k}})

ln (\sqrt[k]{x + h}) > ln (\sqrt[k]{x})

\sqrt[k]{x + h} > \sqrt[k]{x}

Allerdings kommen mir diese Beweise vor wie die Neuerfindung des Rades. Warum soll eigentlich dieser Beweis erbracht werden?

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19:45 Uhr, 24.11.2012

Ein weiteres Mal danke. Die Aufgabe ist damit soweit fertig.
Weil unser Professor es für nötig findet uns solche sehr interessanten Aufgaben zu geben (Aufgaben müssen abgegeben werden und werden benotet). Ich kapiere auch nicht warum wir als angehende Ingenieure solche Beweise führen müssen.

MfG

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