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Parametervariation bei ganzrationalen Funktionen

Schüler Gymnasium,

Tags: Achsensymmetrie, Ganzrationale Funktion 4. Grades, Ganzrationale Funktionen

ninalina aktiv_icon

20:08 Uhr, 23.09.2020

Hallo, ich bräuchte dringend Hilfe bei folgender Matheaufgabe:

Zwischen den Punkten

P

und

Q

wird der Bau einer Verbindungsstraße geplant. Die soll an den Stellen

x = - 2

und

x = 2

ohne Knick in die Geraden

g 1 : y = o,5 x

und

g 2 : y = - 0,5 x

übergehen.
Das beigefügte Koordinatensystem hat die Einheit Meter.

a)

Ermitteln Sie mögliche ganzrationale Funktionen vierten Grades, deren Graphen das Verbindungsstück beschreiben. Nutzen Sie dabei die Symmetrie aus.

b)

Bestimmen Sie, welche der gefundenen Funktionen zusätzlich die Bedingung erfüllt, dass die 2.Ableitung in den Übergangspunkten 0 ist.

Ich habe bisher folgende Bedingungen aufgestellt:

f (- 2) = 1

f (2) = 1

f (0) = 0,5

f' (- 2) = - 0,5

f' (2) = 0,5

f' (0) = 0

Diese Bedingungen habe ich dann in die Formel f(x)=ax^4+bx^2+c eingesetzt, da der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
Gebe ich meine Ergebnisse nun in die Matrix ein; bekomme ich Folgendes angezeigt:

1000

0100.125

0010.5

Das kann doch aber nicht stimmen, weil

a = 0

bedeuten würde, dass die Funktion keinen 4. Grad hat. Was mache ich also falsch?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Symmetrie (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Symmetrie
Potenzfunktionen - Einführung
Symmetrie von Vierecken

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

20:34 Uhr, 23.09.2020

.
"Zwischen den Punkten

P

und

Q

..."

\to

kennst du die Koordinaten dieser Punkte ?

- - - - - - - - - - - -

"Ich habe bisher folgende Bedingungen aufgestellt:"
..
..

\to f (0) = 0,5 . .

. wie kommst du denn auf diese Idee??
..

\to f' (0) = 0 . .

. wie kommst du dennauf diese Idee??

- - - - - - - - - - - - -

"habe ich dann in die Formel

f (x) = a x^{4} + b x^{2} + c

eingesetzt.."

\to

das Arbeiten mit dieser Formel ist gut..

.

ninalina aktiv_icon

20:39 Uhr, 23.09.2020

Die beiden Bedingungen habe ich aus dem Koordinatensystem abgelesen.

rundblick aktiv_icon

20:47 Uhr, 23.09.2020

.
"Die beiden Bedingungen habe ich aus dem Koordinatensystem abgelesen. "

\to

vergiss das - du solltest die Informationen aus dem Aufgabentext auswerten

deine Zeichnung ist dazu unbrauchbar :
siehst du dort den Knick bei

P

und Q? - und genau das sollte ja nach Aufgabenstellung NICHT sein..
oder?
nebenbei: du hast meine erste Frage noch nicht beantwortet...

verwenden darfst du zur Lösung von Teil

a)

der Aufgabe

\to

f (2) = 1

f' (2) = 0,5

( beachte, dass dies dann schon erfüllt ist: "Nutzen Sie die Symmetrie aus." )

und benutze nun deinen Ansatz für

f (x) .

.

ok?

rundblick aktiv_icon

21:24 Uhr, 23.09.2020

.
"Hallo, ich bräuchte dringend Hilfe.."

wie dringend? ..
warum tauchst du dann nicht wieder auf?

.

ninalina aktiv_icon

21:40 Uhr, 23.09.2020

Ich habe keine zusätzlichen Informationen zu den Koordinaten der Punkte, habe dem Koordinatensystem aber entnommen, dass sie identisch zu den Stellen

x = 2

bzw.

x = - 2

sein müssen.

rundblick aktiv_icon

21:48 Uhr, 23.09.2020

.
ok

\to

also

P (2 / 1)

und

Q (- 2 / 1)

so - ich habe dir oben schon notiert, wie du bei Teil

a)

weiterkommst

beachte dabei den Text:
"a) Ermitteln Sie mögliche ganzrationale Funktionen

(!!!)

vierten Grades,
deren Graphen das Verbindungsstück beschreiben."

\to

was sagt dir die Mehrzahl (Funktionen

!!!) .

. dh was bedeutet das für die Lösung von

a)

?

fang also schon mal an

\to .

.
.

ninalina aktiv_icon

21:53 Uhr, 23.09.2020

Ich habe jetzt mit Deinen Bedingungen (Danke für die Hilfe!) folgende Werte ausgerechnet.

a = - \frac{1}{32} + \frac{1}{16} c

b = \frac{3}{8} + \frac{1}{2} c

c

ist in diesem Fall eine beliebige reelle Zahl.
Ist das so richtig?

bei Aufgabenteil

b)

müsste der Parameter

c = - 0,5

entsprechen.

rundblick aktiv_icon

22:06 Uhr, 23.09.2020

.

"Ist das so richtig?"

ich habe folgenden Anfang:

f (x) = a x^{4} + b x^{2} + c

f' (x) = 4 a x^{3} + 2 b x

f (2) = 1 . . \Rightarrow ... . .

1 = 16 a + 4 b + c

f' (2) = 0,5 . . \Rightarrow . .

\frac{1}{2} = 32 a + 4 b

jetzt kannst du selbst vergleichen..

nebenbei :
"c ist in diesem Fall eine beliebige reelle Zahl." ..

\to

JA

.

ninalina aktiv_icon

22:07 Uhr, 23.09.2020

Vielen Dank!

rundblick aktiv_icon

22:37 Uhr, 23.09.2020

.
nebenbei:
wie bist du denn darauf gekommen

\to

"bei Aufgabenteil

b)

müsste der Parameter

c = - 0,5

entsprechen. "
??
.

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