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Quadratische Funktion ablesen

Schüler Gymnasium, 8. Klassenstufe

Tags: ermitteln, Quadratische Funktion

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17:12 Uhr, 10.03.2012

Hallo,

ich hätte mal wieder eine Frage.

Wie kann ich mit 3 gegebenen Wertepaaren die Parabel bestimmen?Ich habe schon bei euerer Erklärung geschaut,aber da konnte ich nur etwas finden,wenn der Scheitelpunkt vorgegeben ist.

Bsp.-Aufgabe

Von einem Tunnelbogen sind folgende Werte bekannt:

A (\frac{0}{0})

B (\frac{1}{0,76})

C (\frac{2}{1,44})

a)Stelle die Fkt. auf.
b)Wie hoch und wie breit ist der Tunnel?
c)In welchem Bereich des Tunnels könnte ein

3,5

Meter hoher Laster fahren?

Also wenn Ihr mir

a)

anhand dieses oder einen anderen Beispieles erklären könntet,würde ich den Rest glaube ich auch alleine schaffen.

Mfg

PS,Das sollten keine Brüche sein,sondern die Wertepaare.Habe leider keine Ahnung,wie man das hinbekommt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen
Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Beispiele zur quadratischen Ergänzung

Wie findet man die quadratische Ergänzung?

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Zu einer Parabel die Funktionsgleichung bestimmen

Wie bestimmt man zu einer gegebenen Parabel die Funktionsgleichung?

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17:13 Uhr, 10.03.2012

Wie sieht eine Parabel allgemein aus?

Wenn man die Punkte einsetzt kann man die jeweiligen Koeffizienten bestimmen...

prodomo aktiv_icon

17:16 Uhr, 10.03.2012

Eine quadratische Parabel heißt allgemein

y = a \cdot x^{2} + b \cdot c + c

. Setze jeweils die erste Koordinate für

x

ein, die zweite für

y

. Du bekommst so drei Gleichungen für die 3 Unbekannten

a, b, c

.

Hier

(2 | 1,44) : 1,76 = a \cdot 2^{2} + b \cdot 2 + c

(1 | 0,76) : 0,76 = a \cdot 1^{2} + b \cdot y + c

(0 | 0) : = = a \cdot 0 + b \cdot 0 + c

Daraus solltest du

a, b, c

bekommen

gogogruftinr1 aktiv_icon

17:18 Uhr, 10.03.2012

Ähh...

Also eine PArabel ist ja so eine Art Kurve.Koeffizient?Keine Ahnung.

Sorry,bin wohl einfach zu blöd dazu.

Mfg

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

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17:21 Uhr, 10.03.2012

Wieso hast du denn jezt aufeinmal geteilt? Also

\frac{2}{1,44}

duch

1,76

Underfaker aktiv_icon

17:21 Uhr, 10.03.2012

Betrachte die 3 Gleichungen von Prodomo, eine der Gleichung liefert sofort ein Ergebenis, die anderen beiden Gleichungen beinhalten noch zwei Unbekannte, da es zwei Gleichungen sind, kannst du diese dann auflössen und so die beiden anderen Unbekannten bestimmen.

ps: Links stehen die Punkte (keine Zahlen) dann ein Doppelpunkt für die Aufstellung der zugehörigen Gleichungen

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17:26 Uhr, 10.03.2012

Wieso hat podromo denn das eine Wertepaar zusammengefasst?Also 1 und

0,76

?

PS: Also Geichung

2 & 3

verstehe ich,aber die erst noch nciht.Könnte mir jemand die nochmal erklären?

mfg

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17:28 Uhr, 10.03.2012

Weil du das oben als Punkt

B

angegeben hast.

Also im Prinzip hat er nichts gemacht außer deine Punkte genommen

A, B

und

C

und in die allgemeine Form einer Parabel eingesetzt.

gogogruftinr1 aktiv_icon

17:32 Uhr, 10.03.2012

Punkt

B

war ja 1 und

0,76

.Darf man die dann also einfach zusammenfassen?

mfg

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17:34 Uhr, 10.03.2012

Also allgemein lautet die Funktionsvorschrift:

f (x) = a x^{2} + b x + c

Wir haben die Punkte

A, B

und

C

und setzen ein:

A \to a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c = 0

B \to a \cdot 1^{2} + b \cdot 1 + c = 0,76

C \to a \cdot 2^{2} + b \cdot 2 + c = 1,44

Hier wurden bisher nur die Punkte eingesetzt, rechne die mal soweit aus, also zum Beisppieol

a \cdot 2^{2} = 4 a

Dann solltest du eine Unbekannte wissen und noch zwei Gleichungen haben, die du dann lösen kannst.

gogogruftinr1 aktiv_icon

17:55 Uhr, 10.03.2012

Also ich habe gerade gerechnet:

C = a \cdot 2^{2} + b \cdot 2 + c

= 4 a + 2 b + c = 1,44

C = 1,44 - 4 a + 2 b

DAs habe ich dann in

B

eingesetzt

B = a + b + 1,44 - 4 a + 2 b

= 3 a + 3 b + 1,44 = 0,76

3 b = - 0,68 - 3 a

b = - 0,226 - a

Und jezt?Ich weiß echt nicht mehr weiter.

Mfg

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18:17 Uhr, 10.03.2012

Nein.

Da steht nicht

C =

das große

C

war nur dafür gedacht das du weißt welchen Punkt ich einsetze.

Erste Gleichung:

a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c = 0

\Leftrightarrow c = 0

du weißt dein

c

ist 0

Dasselbe machst du jetzt für die anderen beiden Gleichungen und dann musst du noch a und

b

bestimmen indem du die beiden übrigen Gleichungen benutzt.

gogogruftinr1 aktiv_icon

18:38 Uhr, 10.03.2012

Hallo,

sorry das ich soviel nachfrage.aber Ihr seid meine letzte Rettung vor der Arbeit am Montag.

Also

c = 0

a \cdot 1^{2} + b \cdot 1 + 0 = 0,76

a + b = 0,76

a = 0,76 - b

Also in die zweite Gleichung eingesetzt.

(0,76 - b) \cdot 4 + b \cdot 2 + 0 = 0,76

3,04 - 4 b + 2 b = 1,44

3,04 - 2 b = 1,44

- 2 b = - 1,6

b = 0,8

a + 0,8 + 0 = 0,76

Also dann

a = 0,04

b = 0,8

c = 0

Meine Funktion ist also dann

0,04 x^{2} + 0,8 \cdot 0 + 0

Aber jezt habe ich keine Zahl vor den

x

,kann also dementsprechend nicht mithilfe der quadr. Eränzung in die S.pkt.form umrechnen,um die Höhe zu bestimmen,oder?

Mfg

Underfaker aktiv_icon

18:53 Uhr, 10.03.2012

b = 0,8

stimmt

für a hattest du:

a = 0,76 - b

also

a = 0,76 - 0,8 = - 0,04

Also verbessern.

\Rightarrow f (x) = - 0,04 x^{2} + 0,8 x

für

b)

und

c)

bräuchte man eigentlich so etwas wie Maßeinheiten, was bedeutet

x = 1

? 1 Meter?

b)

Die Höhe de sTunnels, gemeint ist sicher der höchste Punkt, das kannst du über die Ableitung machen (die kennst du wahrscheinlich noch nicht) oder du überlegst dir, dass das eine nach unten geöffnete Parabel ist, also muss der Scheitelpunkt der höchste Punkt sein. (Alles andere macht auch keinen Sinn für diese Afugabe)

Du musst den Scheitelpunkt bestimmen, hier ein Tipp: Der x-Wert des Scheitelpunkt liegt logischerweiße in der Mitte der Nullstellen.

ps: Du kannst das doch in die Scheitelpunktform bringen?! Ist hier kein problem.

ebenfalls zu

b)

für die Breite: Hier berechnest du die Nullstellen, auch hier ist wieder wichtig wie die Längeneinheiten definiert sind.

gogogruftinr1 aktiv_icon

19:03 Uhr, 10.03.2012

Hallo,

ja,die Maßeinheiten sind Meter.

- 0,04 x^{2} + 0,8 x

x^{2} - 20 x

x^{2} - 20 x + 100

{(x - 10)}^{2}

Also Scheitelpunkt

S (\frac{10}{0})

?

Mfg

Underfaker aktiv_icon

19:08 Uhr, 10.03.2012

Scheitelpunkt bei

(10 | 0)

bedeutet, dass der höchste Punkt des Tunnels bei 0 Meter ist, das macht wohl eher wenig Sinn...

du darfst hier erstens nicht die

0,04

weglassen und zweitens musst du die Ergännzung auch wieder abziehen.

f (x) = - 0,04 x^{2} + 0,8 x = - 0,04 (x^{2} - 20 x) = - 0,04 (x^{2} - 20 x + 10) + 4 = - 0,04 {(x - 10)}^{2} + 4

P_{s} (10 | 4)

ok?

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19:22 Uhr, 10.03.2012

Oh,ok ,danke ,sorry ,lerne jezt seit 6 Stunden für Mathe,da will der Kopf nicht mehr ganz so wie ich will :-)

Nullstellen

f (0) = - 0,04 \cdot 0^{2} + 0,8 \cdot 0

= - 0,04 + 0,8

Nst.(0/0,76) ?

Jezt muss ich auch noch den y-Achsenabschnitt berechnen,also die Gleichung

= 0

setzen,oder?Könntest du mir das mit dem y-Achsenabschnitt bitte nochmal erklären,verstehen das noch nicht ganz.

Mfg

Underfaker aktiv_icon

19:28 Uhr, 10.03.2012

Sorry was hast du denn da gemacht?

y-Achsenabschnitt:

f (0) = - 0,04 \cdot 0^{2} + 0,8 \cdot 0 = 0 \to

y-Achsenabschnitt:

P_{y} (0 | 0)

Aber den brauchst du hier garnicht!

Nullstellen:

f (x) = 0

\Rightarrow - 0,04 x^{2} + 0,8 x = 0

So wie errechnet man hier die Nullstellen und somit die Breite des Tunnels? Tipp:

x

ausklammern

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19:41 Uhr, 10.03.2012

Danke,das du so geduldig mit mir bist.

Also

- 0,04 x^{2} + 0,8 x = 0

x^{2} - 20 x = 0

x 1,2 = \frac{20}{2} \pm \sqrt{{(\frac{20}{2})}^{2}}

= 10 \pm 10

Nst.

(\frac{0}{0})

und

(\frac{0}{20})

Bestimmt wieder was falsch,mein Kopf raucht schon...

Mfg

Underfaker aktiv_icon

19:43 Uhr, 10.03.2012

Das hättest du auch einfacher haben können aber die Rechnung stimmt:

(Eine Nullstelle war klar wegen dem y-Achsenabschnitt)

N_{1} (0 | 0) N_{2} (20 | 0)

wie breit ist also der Tunnel?

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19:44 Uhr, 10.03.2012

20

Meter?

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19:49 Uhr, 10.03.2012

Jap

und die Höhe?

dann ist die

b)

fertig

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19:52 Uhr, 10.03.2012

4 Meter?

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19:54 Uhr, 10.03.2012

Aha, wunderbar.

Und nun noch die

c)

"In welchem Bereich des Tunnels könnte ein

3,5

Meter hoher Laster fahren?"

Was gibt denn in der Funktion die Höhe des Tunnals an, also allgemein, soll heißen wie bekommt man die Höhe allgemein des Tunnels raus?

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19:55 Uhr, 10.03.2012

Also ich würde die Funktion aufzeichnen,und kucken,wo die Höhe

min

3.5

Meter ist.

Mfg

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19:57 Uhr, 10.03.2012

Wenn das in Ordnung ist, kannst du das machen, es gibt aber natürlich auch einen rechnerischen (genauen) Weg.

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20:00 Uhr, 10.03.2012

Hallo,

ja das dürfen wir.

Jetzt noch eine letzte Frage,dann ist Schluss ( für heute :-) )

Wie biste da oben auf

c = 0

gekommen? Verstehe das noch net ganz.Sonst habe ich alles verstanden.

Mfg

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20:07 Uhr, 10.03.2012

Na gut aber hier trotzdem der rechnerische Weg, es kann ja nicht Schaden.

Die Höhe des Tunnels wird durch den Funktionswert angegeben, so ist an der Stelle

x = 10

auch die Höhe 4 (wir erinnern uns an den Scheitelpunkt).

Jetzt soll die Höhe

3,5

Meter sein damit der LKW noch durch passt, also müssen wir gucken wo der Funktionswert (und damit die Höhe)

3,5

ist.

f (x) = 3,5 \Rightarrow - 0,04 x^{2} + 0,8 x = 3,5

- 0,04 x^{2} + 0,8 x - 3,5 = 0 | : (- 0,04)

x^{2} - 20 x + 87,5 = 0 |

pq-Formel

x_{1,2} = - (- \frac{20}{2}) \pm \sqrt{{(\frac{20}{2})}^{2} - 87,5}

= 10 \pm \sqrt{12,5}

x_{1} \approx 6,4645

x_{2} \approx 13,5355

so zu dem

c

Es gibt doch den Punkt

A (0 | 0)

Wenn wir den in

f (x) = a x^{2} +

+ c

einsetzen, erhalten wir:

a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c = 0

a \cdot 0

und

b \cdot 0

wegfallen bleibt übrig:

c = 0

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20:15 Uhr, 10.03.2012

Ah,danke danke danke,ohne dich hätte ich das nie geschafft.Morgen frag ich dann nochmal nach über etwas anders aber für heue ist Schluss.

Mfg

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20:30 Uhr, 10.03.2012

Gern geschehen. :-)

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08:52 Uhr, 11.03.2012

Hallo,

da bin ich wieder.
Es geht um folgendes

Aufgabe:Forme in die Scheitelpunktform um.Bestimme den Scheitelpunkt.

Nun habe ich da eine Aufgabe,die heißt

x^{2} - 9

Bei der weiß ich nicht,was ich machen soll,da mir ja die Zahl vor der einzelnen Variable fehlt.
Kannst du mir dabei helfen?

Mfg

irena

09:32 Uhr, 11.03.2012

Hallo,
kennst du die Scheitelpunktform der Parabel 2.Grades:

y = f (x) = a {(x - x_{s})}^{2} + y_{s}

Bei dieser Darstellung kannst du den Scheitelpunkt

S (x_{s} | y_{s})

direkt ablesen.
In deinem Fall:

y = {(x - 0)}^{2} - 9 \to S (0 | 9)

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09:56 Uhr, 11.03.2012

Verdammt bin ich blöd.

irena

09:59 Uhr, 11.03.2012

nicht doch, es ist ja noch früh,
lg

irena

10:12 Uhr, 11.03.2012

Aber bitte hake die Frage ab.
Wenn du eine neue Frage hast, eröffne einen neues Fenster sonst wird es zu lang und zu unübersichtlich.
:-)

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12:28 Uhr, 11.03.2012

Ok,danke für den Hinweis.

Mfg

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13:44 Uhr, 11.03.2012

Hallo,

sorry das ich nochmal nachfrage,aber es gehört zu diesem Thema.Ich habe das Ablesen noch ein wenig geübt,da das das einzige ist,was ich noch nicht kann,und wollte nachfragen,ob das was ich gerechnet habe,richtig ist.

Gegeben sind die drei Punkte

A (- 5 / 13)

B (- 10 / 0)

C (5 / 13)

Die allgemeine Form lautet ja

f (x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c

Also habe ich die drei Punkte eingesetzt:

A : 13 = a \cdot {(- 5)}^{2} + b \cdot (- 5) + c

B : 0 = a \cdot {(- 10)}^{2} + b \cdot (- 10) + c

C : 13 = a \cdot 5^{2} + b \cdot 5 + c

Dann ausgerechnet

13 = 25 a - 5 b + c

c = 13 \cdot 5 b - 25 a

Das so erhaltene Ergebnis in die zweite Gleichung eingesetzt.

0 = 100 a - 10 b + (13 + 5 b - 25 a)

0 = 75 a - 5 b + 13

5 b = 75 a + 13

b = 15 a + 2,6

Dann

b

und

c

in die dritte Gleichung eingesetzt

13 = 25 a + 5 \cdot (15 a + 2,6) + 13 + 5 \cdot (15 a + 2,6) - 25 a

13 = 75 a + 13 + 13 + 75 a + 13

//ich konnte die 13nen nicht mehr sehen,so viele waren das^^

13 = 150 a + 36

150 a = - 26

a = - 0,173

Also sind die Punkte dann

a = 0,173

b = 0,01

c = 17,375

Wenn ich bis hierhin richtig gerechnet habe,müsste die Funktionsgleichung also lauten

f (x) = - 0,173 x^{2} + 0,01 x + 17,375

Stimmt das?

MfG

Underfaker aktiv_icon

13:54 Uhr, 11.03.2012

Es wäre in einer neuen Frage dennoch besser gewesen.

Antwort: Nein, du hast unsauber gerechnet und gerundet, rechne mit den Korrekten werten dann erhälst du die richtige Funktionsvorschrift.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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