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Quadratische Funktionen (Hausaufgaben)

Schüler Berufliches Gymnasium,

Tags: Quadratische Funktion

Jana-Guds aktiv_icon

22:52 Uhr, 07.02.2011

Guten Abend :-)
Hab hier eine Aufgabe, wenn mir einer helfen kann wäre ich sehr dankbar ! :-)

$\to$ Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = 0,75$ (x² $- 5 x + 4); x \in R$ . $K$ ist der Graph von $f$ .
$a)$ Die Gerade $g$ mit der Gleichung $y = 0,75 x + 3$ schneidet $K$ in zwei Punkten $S 1$ und $S 2$ . Berechnen Sie die Koordinaten von $S 1$ und $S 2$ .
$b)$ Zeigen Sie: Die Ursprungsgerade $h$ mit der Steigung $m = - \frac{3}{4}$ berührt K. Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunktes.
c)Welche auf der Geraden $h$ senkrecht stehende Gerade schneidet $K$ In $x = 3$ ?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen
Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DmitriJakov aktiv_icon

22:54 Uhr, 07.02.2011

Gar keine Idee wie man bei $a)$ anfangen könnte?

Jana-Guds aktiv_icon

22:56 Uhr, 07.02.2011

Hi .. gleichsetzen ??!! aber ich komm da nicht weiter also des klappt $i$ .wie gar nicht ..

mat160687 aktiv_icon

23:04 Uhr, 07.02.2011

wo genau beim gleichsetzen kommst denn nicht weiter?

anonymous

23:07 Uhr, 07.02.2011

Gleichsetzten und die Quadratische Gleichung dann lösen mit $p, q$ Formel.

Die 2 Lösungen sind dann die $x$ Koordintaten von $S 1$ und $S 2$ .

Jana-Guds aktiv_icon

23:08 Uhr, 07.02.2011

ich bin bisschen verwirrt ist $f (x)$ praktisch wie $y$ ? und dann kann man des grad gleichsetzten oder ist $f (x)$ nicht $y$ und mann muss es erst umformen ?

anonymous

23:09 Uhr, 07.02.2011

$f (x)$ bedeutet das gleiche wie $y$ ist nur anders geschrieben also man kann sagen $f (x) = y$

$Z . B$ man kann $y = 0,75 x + 3$ oder $f (x) = 0,75 x + 3$ kann man für eine Gerade schreiben , das bedeutet das gleiche und stellt die Gleiche gerade da , ob man $f (x)$ oder $y$ schreibt ist nur eine Frage wie es einem besser gefällt .

Jana-Guds aktiv_icon

23:11 Uhr, 07.02.2011

Ok danke schön :-) ich versuchs dann mal, mal schauen was da raus kommt :-)

Bauing0815 aktiv_icon

23:12 Uhr, 07.02.2011

wenn du $x 1$ hast, musst du $x 1$ in die erste Funktion einsetzen.Dann hast du $y$
zur überprüfung dann $x 1$ auch in die zweite funktion einsetzen. Da muss der gleiche wert rauskommen.

anonymous

23:17 Uhr, 07.02.2011

Ob man $f (x)$ oder $y$ schreibt ist nur eine Frage wie es einem besser gefällt.

Es gilt $f (x) = y =$ Funktionsterm

f(x)beschreibt die Unabhängige Variable $x :$
In der folgenden Funktion $f (x$ istx die Unabhängige Variable , da man $x$ frei (Unabhängig ) wählen kann und dann einen von $x$ abhängigen Funktionswert $y$ erhält . .

Das $y$ stellt dar , dass $y$ ist die Abhängige Variable von $x$ ist (Also dass eben $y$ davon abhängt welches $x$ man in die Funktion einsetzt )

Jana-Guds aktiv_icon

23:19 Uhr, 07.02.2011

$S 1 (4 | 6)$ und $S 2 (0 | 3)$ ?!

anonymous

23:22 Uhr, 07.02.2011

Nein , bei der Lösung erhälst du $x_{1} = 0$ und $x_{2} = 6$

Wenn du mal hintippst , was du gerechnet hast , kann man dir den Fehler tippen .

anonymous

23:31 Uhr, 07.02.2011

So sieht das ja aus:

$0,75 (x^{2}$ − $5 x + 4) = 0,75 x + 3$

$0,75 (x^{2}$ − $5 x + 4) - 0,75 x - 3 = 0$

$\frac{3}{4} x^{2} - \frac{9}{2} x = 0$ nun Kalmmere mal $x$ aus und löse

Jana-Guds aktiv_icon

23:31 Uhr, 07.02.2011

komisch..
Also ich schreibe einfach meinen lösungsweg mal hin :
$0,75 ($ x² $- 5 x + 4) = 0,75 x + 3$
0,75x²-3,75x+3 $= 0,75 x + 3 | - 3 | - 0,75 x$
0,75x² $- 3 x = 0$ geteilt durch $0,75$

$x 1,2 = \frac{4}{2} \pm$ Wurzel aus (-4/2)²
$= 2 \pm 2$
$x 1 = 4$
$x 2 = 0$

Was hab ich falsch gemacht ??

Bauing0815 aktiv_icon

23:33 Uhr, 07.02.2011

falsch umgestellt

$x^{2} - 6 x = 0$

Jana-Guds aktiv_icon

23:37 Uhr, 07.02.2011

Thema ausklammern hatte ich auf meiner alten schule nicht und jetzt in der neuen schule wird es davon ausgegangen dass ich es schon kann .. könntest du mir zeigen wie es dann wäre wenn man es ausklammert ?

anonymous

23:40 Uhr, 07.02.2011

$\frac{3}{4} x^{2} - \frac{9}{2} x = 0$
$x (\frac{3}{4} x - \frac{9}{2}) = 0$

Nun wird die Gleichung zu $0,$ wenn ein Faktor des Produktes $o$ wird also entweder $x = 0 \Rightarrow$ bei $x = 0$ oder $(\frac{3}{4} x - \frac{9}{2}) = 0$
$\frac{3}{4} x = \frac{9}{2}$
$x = \frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3}$
$x = 6$

Damit hat man als Lösung der Gleichung 0 oder eben 6 .

Jana-Guds aktiv_icon

23:42 Uhr, 07.02.2011

achso klar ich hab mein fehler gefunden :-D) $S 1 (6 | 7,5)$ und $S 2 (0 | 3)$ :-)
Kann mir noch einer mit $b)$ und $c)$ weiter helfen ?

anonymous

23:44 Uhr, 07.02.2011

bei $b$ Ursprungsgerade bedeutet die gerade geht durch den Punkt $(0; 0)$ da dies der Ursprung ist .
Nun hast du einen Punkt und die Steigung gegeben .
Damit kannst du die Geradengleichung aufstellen .

anonymous

23:46 Uhr, 07.02.2011

Dann berechnets du den Schnittpunkt der 2 Funktionen , der Parabel und der aufgestellten Gerade , und weißt nach dass beide Funktionen die gleiche Steigung im Schnittpunkt haben , denn dann ist es ein Berührpunkt .

Steigung der Geraden ist gegeben und kannst auch ablesen aus der Gleichung dann ( Punkt noch einsetzten ) .
Steigung der Parabel machst du die erste Ableitung und setztd en Schnittpunkt dann ein .

Jana-Guds aktiv_icon

23:48 Uhr, 07.02.2011

Meinst du den Punkt $: (0 | 0)$ weil du hast es komisch geschrieben ?? :-)

anonymous

23:49 Uhr, 07.02.2011

Ja normalerweise schreibt man Punktkoordinaten mit dem Zeichen ";" dazwischen und weniger mit "/" .
So nen Senkrechten Strich wie du ihn machst habe ich noch nie gesehn xD.

Jana-Guds aktiv_icon

23:50 Uhr, 07.02.2011

achso ok wusste ich nicht .. dann versuch ichs mal , danke :-)

anonymous

23:53 Uhr, 07.02.2011

achja und bei $c :$
Wenn sich Geraden senkrecht schneiden ergeben beide Geradesteigungen multipliziert $- 1$ .
Damit kannst dann die Geradensteigung der senkrechten Gerade berechnen , weil du ja dann die Steigung und einen Punkt gegeben hast .

Nacht .

Jana-Guds aktiv_icon

00:07 Uhr, 08.02.2011

Also ich hätte da :

Gerade $\to y = - \frac{3}{4} x$

Gleichsetzen:
0,75(x²-5x+4) $= - \frac{3}{4} x$
0,75x² $- 3,75 x + 3 = - \frac{3}{4} x | + \frac{3}{4} x |$ und geteilt durch $0,75$
x² $- 4 x + 4 = 0$

$x 1,2 = \frac{4}{2} \pm$ wurzel aus (-4/2)²-4
$x = 2$

Einsetzen:
$y = - \frac{3}{4} \cdot 2$
$y = - 1,5$

Somit Berührpunkt $\to (2 | - 1,5)$

und dann wäre es ja alles für $b)$ ?!

anonymous

00:49 Uhr, 08.02.2011

Nein , du musst nachweisen , dass es kein Schnittpunkt ist sondern ein Berührpunkt .

Also müssen in dem Schnittpunkt die Kleichen Steigungen sein .
Dafür leitest du die Parabel ab und setzt den punkt ein ,
dann muss die gleiche Steigung rauskommen .

Was du bisher gerechnet hast ist nur dass sich die Funktionen schneiden , aber du hast nicht nachgewiesen , dass sie sich berühren .

Jana-Guds aktiv_icon

01:01 Uhr, 08.02.2011

Mhm damit kann ich jetzt nicht viel anfangen :-D) .. wäre also jetzt meine rechnung die ich hin geschrieben hab falsch oder was müsste ich jetzt noch machen ?

anonymous

01:06 Uhr, 08.02.2011

so sieht die Berührung aus .

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

Jana-Guds aktiv_icon

01:11 Uhr, 08.02.2011

okay

Jana-Guds aktiv_icon

01:38 Uhr, 08.02.2011

und wie berechne ich dass sie sich berühren ??

BjBot aktiv_icon

01:54 Uhr, 08.02.2011

Deine Lösung für $b)$ von $00 : 07$ ist vollkommen in Ordnung.
Du könntest nur noch irgendwo erwähnen, dass es genau EINE Lösung gibt, denn damit muss zwangsweise eine Berührung von Parabel und Gerade vorliegen.

zu $c)$ Löse $s (3) = f (3)$ nach $b$ auf mit $s (x) = - \frac{1}{m_{h}} \cdot x + b$

anonymous

04:27 Uhr, 08.02.2011

Das mit "nur einer Lösung" von BjBot und kann man so nicht stehen lassen , weil es im Grunde genommen mathematisch gesehen falsch ist , wenn man sich nicht zur Geradensteigung noch äußert .

Nur ein Schnittpunkt von Gerade und Parabel bedeutet nicht zwangsläufig einen Berührpunkt ; Man muss einen Berührpunkt auch nachweisen :

Wenn man irgendeine senkrechte Gerade hätte die die Parabel schneidet, $z$ .b.die Gerade, die direkt durch den Extremwert der Parabel geht gäbe es auch nur eine Lösung und einen Schnittpunkt .
Allerdings wäre dieser Punkt ein echter Schnittpunkt und kein Berührpunkt .

Die Gerade darf also niemals senkrecht zur $x$ Achse sein .

Es kommt nur auf die Geradensteigung an und diese darf in diesem "Sonderfall" Schittpunkt Gerade mit Parabel nicht undendlich sein , damit sich ein Berührpunkt ergibt .

Man muss das mindestens noch hinschreiben , dass die Geradensteigung nicht undenlich groß ist und sich damit durch nur eine Lösung der Gleichung sich zwangsläufig ein Berührpunkt ergeben muss .

Oder man testet die Steigungen direkt von beiden Funktionen im Schnittpunkt und sieht nach ob die gleich sind.

Das wäre mathematisch gesehen korrekt .

Wenn man mal keine Parabel hat sondern eine Funkion höheren Grades muss man immer die Steigungen vergleichen .

anonymous

05:01 Uhr, 08.02.2011

Richtig wäre es so :

$f (x) = 0,75 (x^{2}$ − $5 \cdot x + 4)$
$g (x) = - \frac{3}{4} x$

Schnittpunkt berechnen:
$f (x) = g (x)$
$0,75 (x^{2}$ − $5 x + 4) = - \frac{3}{4} x$

$\Rightarrow x = 2$
$g (2) = - \frac{3}{4} \cdot 2 = 1,5$

Punkt $P (2; 1,5)$
Nachweis ,das der gefundene Schnittpunkt ein Berührpunkt ist:
g´(x) $= - \frac{3}{4}$
f´(x) $= \frac{3}{2} x - 3,75$
g´(2)=f´(2)

$- \frac{3}{4} = \frac{3}{2} \cdot 2 - 3,75$
$- \frac{3}{4} = - \frac{3}{4}$

$\Rightarrow$ Gleiche Steigung $- \frac{3}{4}$ im Punkt $P (2; 1,5)$ bei beiden Funktionen $g (x)$ und $f (x) \Rightarrow P$ ist ein Berührpunkt.

BjBot aktiv_icon

14:42 Uhr, 08.02.2011

"Wenn man mal keine Parabel hat sondern eine Funkion höheren Grades muss man immer die Steigungen vergleichen"

Auch die Graphen von ganzrationalen Grades nennt man Parabeln (n-ten Grades).
Zudem lautet ihr Thema halt "quadratische Funktionen" bzw "quadratische Gleichungen", welche sich hier $z . B$ . durch gleichsetzen von Parabel- und Geradenterm ergeben und wo man noch weit davon entfernt ist über Ableitungen zu reden.

Mathematisch ist hier auch alles korrekt, denn man muss gewiss nicht immer mit Ableitungen arbeiten - gerade bei diesem Aufgabentyp nicht.
Was sonst außer ein Berührpunkt sollte hier vorliegen wenn eine quadratische Gleichung genau eine Lösung hat ?
Stellen wo gemeinsame Punkte von zwei Graphen vorliegen sind ja immer gleichzeitig Nullstellen bezogen auf deren Differenzfunktion.
Was sonst sollte damit eine Parabel 2. Grades tun, als die x-Achse zu berühren, wenn sie genau eine (doppelte) Nullstelle hat ?

"Wenn man irgendeine senkrechte Gerade hätte die die Parabel schneidet, $z$ .b.die Gerade, die direkt durch den Extremwert der Parabel geht gäbe es auch nur eine Lösung und einen Schnittpunkt ."

Nur hat das Ganze dann nichts mehr mit einer quadratischen Gleichung zu tun und läuft nur noch auf das Einsetzen der Gerade $x = a$ in den quadratische Funktionsterm hinaus - also ein völlig anderes Thema, schon allein deswegen weil hier schon eine konkrete Steigung einer Geraden gegeben war.

Übrigens vertust du dich alamierend oft mit der Rechtschreibung und den korrekten mathematischen Bezeichnungen, Kostprobe:

"Also müssen in dem Schnittpunkt die Kleichen Steigungen sein"

$\to$ Schnittpunkt und gleiche Steigungen vertragen sich nicht, es muss "gemeinsamer Punkt" lauten.

"Dafür leitest du die Parabel ab und setzt den punkt ein"

$\to$ Man leitet keine Graphen sondern Funktionsterme ab und man setzt nicht Punkte sondern Stellen ein.

"Dann berechnets du den Schnittpunkt der 2 Funktionen , der Parabel und der aufgestellten Gerade , und weißt nach dass beide Funktionen die gleiche Steigung im Schnittpunkt haben , denn dann ist es ein Berührpunkt . "

$\to$ Siehe oben und zudem gibt es keinen Schnittpunkt von Funktion sondern nur von FunktionsGRAPHEN.

"Steigung der Parabel machst du die erste Ableitung und setztd en Schnittpunkt dann ein"

$\to$ Ist das noch deutsch ?

Mag dir jetzt sehr kleinkariert vorkommen, jedoch sind meiner Meinung nach gute Lesbarkeit und korrekte Bezeichnungen entscheidend zum wirklichen Verständnis.

anonymous

16:31 Uhr, 08.02.2011

Was BjBot schreibt ist schreib ist einfach falsch :
Wenn man $z . b$ . die Funktion $f (x) = x^{3}$ und die Gerade $g (x) = 0,5 x - 3$ nimmt , diese dann so gleichsetzt bekommt man nur eine Lösung dieser Gleichung , und die ist garatiert kein Berührpunkt :
$g (x) = f (x)$

$0,5 x - 3 = x^{3}$

$\Rightarrow x = - 1,558$

Schnittpunkt $P (- 1,558; - 3,872)$ und KEIN Berührpunkt .

Will man nun sehen ob der Schnittpunkt ein Berührpunkt ist muss man die Steigungen der Funktionen im Punkt vergleichen :
Man mus testen ob g´(-1,558)=f´(-3,872) gilt.

g´(-1,558)=f´(-3,872)

$0,5$ ungleich $3 \cdot {(- 1,558)}^{2} \Rightarrow$ Kein Berührpunkt sondern ein normaler Schnittpunkt .

BjBot aktiv_icon

16:54 Uhr, 08.02.2011

$1)$ Du musst schon genau lesen, ich habe klar und deutlich hingeschrieben, dass ich mich auf quadratische Funktionen bzw sich daraus ergebende quadratische Gleichungen beziehe.
$2)$ Das, was du nachträglich - womöglich aus Feigheit - wieder aus deinem Beitrag gelöscht hast, davon hatte ich schon einen Screenshot gemacht und es entsprechend weitergeleitet, so wie du es ursprünglich ja auch wolltest, nicht wahr ;-)

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