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Schnittpunkt Ebene Kugel

Universität / Fachhochschule

Tags: eben, Kugel, Schnittpunkt

Tamip aktiv_icon

12:47 Uhr, 30.06.2012

Hallo an alle Habe diese Aufgabe:

Ebene:

2 x + y - 2 z = 11

Kugel Radius 7 und dem Mittelpunkt

(2, - 1, 5)

A)

Zeigen Sie, dass sich Kugel und Ebene schneiden.

B)

Berechnen Sie den Mittelpunkt und den Radius des Schnittkreises.

Diese Aufgabe bringt mich zum verzweifeln, aber ich brauche Sie um durch Mathe zu kommen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

13:54 Uhr, 30.06.2012

kennst du die HNF einer Ebenengleichung?

damit kannst du herausfinden, wie weit der Mittelpunkt der Kugel
von der Ebene entfernt ist (es werden weniger als 7 Einheiten sein)

Also schneidet die Ebene

E

die Kugeloberfläche in einem Kleinkreis..

den Mittelpunkt

M'

des Kugelkleinkreises bekommst du als Durchstosspunkt
der durch

M

gelegten Lotgeraden zu

E

und für den Radius des Schnittkreises kannst du eine geeignete Überlegungsfigur
zeichnen und dann den Herrn Pythagoras aufwecken..

versuchs

\to . .

Tamip aktiv_icon

14:12 Uhr, 30.06.2012

Also ich Normier den Normalenvektor der Ebene

E

= (2,1, - 2)

und Normier den

| (2,1, - 2) | = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 8 - 2^{2}} = 3

Also multipliziere ich den Normalenvektor

(2,1, - 2) \cdot (\frac{1}{3})

Dann brauch ich noch nen Ortsvektor

2 x + 1 y - - 2 z = 11

also

x = 1

2 \cdot 1 + 1 y - 2 \cdot 1 = 11

also

y = 11

und

z = 1

somit habe ich

(1,11,1)

Da mache ich die Hessesche Normalform

(x - (1,11,1)) \cdot ((2,1, - 2) \cdot (\frac{1}{3})

setze für

x

ein

((2, - 1,5) - (1,11,1)) \cdot (2,1, - 2) \cdot (\frac{1}{3})

dann habe ich nacher

- 18 \cdot (\frac{1}{3})

= | - 6 | = 6

Als Abstand von Mp zur Ebene

und weil der Abstand 6 ist und der Radius 7schneiden die sich.

Dann den ollen Phytaghoras,

\sqrt{7^{2} - 6^{2}} = \sqrt{13}

als Rdius des Schnittkreises oder?

oder bin ich da ganz falsch mit?

rundblick aktiv_icon

14:25 Uhr, 30.06.2012

2 x + 1 y - 2 z = 11

richtig ist, dass der Betrag des Normalenvektors 3 ist

und dann geht es einfacher weiter:

die HNF von

E

ist also:

\frac{1}{3} \cdot (2 x + y - 2 z - 11) = 0

und hier setzt du nun für

x, y, z

die Koordinaten von

M (2, - 1,5)

ein

wenn

M

nicht in der Ebene liegt, kommt rechts nicht 0 heraus , sondern der
Abstand

d

von

M

zur Ebene ..
(wobei das Vorzeichen von

d

noch darüber informiert, auf welcher Seite der Ebene
der Punkt

M

im Raum liegt.. der Betrag von

d

ist die Entfernung von

M

E)

wieder richtig ist:

"und weil der Abstand 6 ist und der Radius 7schneiden die sich.

Dann den ollen Phytaghoras->

r' = \sqrt{13}

"

jetzt fehlt nur noch

M' -

oder?

Tamip aktiv_icon

14:37 Uhr, 30.06.2012

Der liegt auf der Ebene im Schnittkreis, mhhh also der Mp war

(2, - 1,5)

und der Abstand von Mp auf Ebene 6.
Kann ich nicht einfach die 6 auf den gegebene Mp aufaddieren? oder denke ich da zu einfach?

rundblick aktiv_icon

14:41 Uhr, 30.06.2012

"Kann ich nicht einfach ..."

\to

NEIN

ich habe dir oben schon beschrieben, wie du vorgehen musst, um die
Koordinaten von

M'

zu finden..

.

Tamip aktiv_icon

15:24 Uhr, 30.06.2012

ahh das mit der Lotgerade.

Mp

(2, - 1,5)

Ebene

2 x + y - 2 z

Gleichung der Lotgerade

x = (2, - 1,5) + r (2,1, - 2)

grübel

..

rundblick aktiv_icon

18:30 Uhr, 30.06.2012

(x, y, z) = (2, - 1,5) + r (2,1, - 2)

grübel

ja - und jetzt koordinatenweise notiert: gibt für die Lotgerade dieses System:

\to

x = 2 + 2 r

y = - 1 + r

z = 5 - 2 r

setze nun in die Gleichung der Ebene diese

x, y, z

ein

\to

du erhältst eine Gleichung für jenes

r,

das zum Durchstosspunkt

M'

führt
löse also diese Gleichung

\to r = ...

.
und berechne für das gefundene

r

aus obigem System die zugehörigen Koordinaten

x, y, z

fertig

was bekommst du nun also für

M'

?

noch ein kleiner Tipp für eine Probe:
der Betrag des Vektors

\vec{M M'}

müsste 6 sein - warum wohl?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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