Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Schnittpunkt einer Ebene und Gerade

Schnittpunkt einer Ebene und Gerade

Schüler

Tags: eben, Ebenengleichung, Gerade, Schnittpunkt

pinke-wolke aktiv_icon

11:24 Uhr, 02.12.2015

Hallo,

ich schreibe Freitag mine Mathe Klausur. Unser Lehrer hat uns Aufgaben gegeben und ich komme hier leider nicht mehr weiter;

Gegeben sind die Ebene

E

und für jedes a €

R

(element und reele Zahlen ) eine Gerade ga,

E : x =

(1\0\1\)

+ r \cdot

(2\1\-1)

+

s*(3\3\-1)
Ga= (0\1\1)

+ t \cdot (1 | a | 2)

( Sollen natürlich Vektoren sein )

A Bestimmen sie die Koordinaten des Schnittpunktes Sa von Ga und

E

in Abhängigkeit von

a,

für welchen Wert gibt es keine Lösung

B

Für welchen Wert a liegt der Schnittpunkt in der

x 1 x 2

ebene ?

Ich vermute das ich die Gleichungen gleichsetzen muss aber mehr verstehe ich leider nicht

Danke im Vorraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)

Ebene Geometrie - Einführung
Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Bummerang

11:34 Uhr, 02.12.2015

Hallo,

der Schnittpunkt einer Ebene mit einer Geraden ist doch genau der Punkt

P (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix}),

der sowohl in der Ebene liegt als auch auf der Geraden. Es gilt also für ein Paar

(r, s) \in ℝ^{2},

dass gilt:

(\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix})

UND

für ein

t \in ℝ

gilt:

(\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ a \\ 2 \end{matrix})

Wenn beides gilt, dann muss natürlich auch gelten, dass:

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ a \\ 2 \end{matrix})

Was ein lineares Gleichungssystem mit den drei Unbekannten

r, s

und

t

und dem Parameter a ergibt. Dieses Gleichungssystem ist für A einfach zu lösen! Dabei wirst Du feststellen, dass es für ein bestimmtes a einen Widerspruch ergibt, der dazu führt, dass es für dieses eine a keine Lösung gibt!

Bei

B

sollst Du dann nur das a ermitteln, für das der Schnittpunkt in der

x_{1} - x_{2} -

Ebene liegt. Wie sieht denn ein solcher Punkt aus? Welche Forderungen werden denn an solch einen Punkt gestellt? Anhand dieser Forderungen kannst Du dann a ermitteln!

pinke-wolke aktiv_icon

18:26 Uhr, 02.12.2015

Hallo danke für die außführliche Antwort ich konnte leider erst jetzt antworten da ich noch in der Schule war,

ich habe für die A jetzt drei Gleichungen aufgebaut. (Lgs)

Ich habe so umgeformt das ich die erste und zweite Gleichung mit dem Addition Verfahren einsetzen.

2 r + 3 s - t = - 1

1 r - 3 s + t = - a

3 r = (- 1) - a

| : 3

r

= \frac{(- 1) - a}{3}

Ist das so richtig? Und was muss ich den dannach machen, in die 3 Gleichung einsetzen?

Hubs15 aktiv_icon

20:32 Uhr, 02.12.2015

Bei mir schauen die drei Gleichungen so aus:

2 r + 3 s - t = 1

r + 3 s - a \cdot t = 1

- r - s - 2 t = 0

So einfach ist dieses Gleichungssystem nicht zu lösen. Ich habe es mit Gauß umgeformt, und erhalte für

a = 8

gibt es keine Lösung. Den Schnittpunkt in Abhängigkeit von a zu berechnen, ist zwar möglich, aber keine schönen Ergebnisse

(\frac{1}{a - 8}, 1 + \frac{a}{a - 8},1 + \frac{2}{a - 8}),

dies ohne Gewähr. Aufwändige Rechnerei. Ich habe die Möglichkeit, die Ebene in Normalform zu verwandeln, genutzt und dann mit

g_{a}

zum Schnitt gebracht. Das Gleichungssystem mit konventionellen Methoden zu lösen, war mir ehrlich gesagt zu blöd. Die Geometrie der Anordnung lässt sowieso eine Gerade als Menge aller Schnittpunkte von

E

und

g_{a}

erwarten. Du könntest auch aus

g_{a}

eine Ebene machen, indem Du

g_{a}

als

\vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) +

\cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

schreibst, dann mussst Du zwei Ebenen zum Schnitt bringen. Die Rechnung wird dadurch auch nicht einfacher.

pinke-wolke aktiv_icon

21:49 Uhr, 02.12.2015

Danke für die Antwort,

ich kann dann glaube ich nur beten, dass die Aufgabe nicht in der Klausur vorkommt

Hubs15 aktiv_icon

22:07 Uhr, 02.12.2015

Die Aufgabe ist deswegen unangenehm, weil das a als Faktor vor dem

t

auftritt. Für Klausuren wären solche Aufgaben besser geeignet, bei denen der zusätzliche Parameter a im Stützvektor der Geraden auftritt. Dann kannst Du wirklich das Gleichungssystem gemütlich lösen, weil dann die Parameter nicht auch noch im Nenner vorkommen. Vielleicht findest Du in Deinem Buch solche Aufgaben. Ansonsten musst Du die Ebene wirklich in Normalform umwandeln, sonst rechnest Du Dir einen Wolf, und

...

. ich hoffe Ihr seid vom Stoff her so weit.

Stephan4

19:47 Uhr, 04.12.2015

Hubs15,

wenn ich

a = 8,5

wähle, dann sieht Dein

S

so aus:

S (2, 18, 5)

Dafür finde ich aber kein passendes

r

und

s

.

Stimmt Deine Rechnung?

Roman-22

20:08 Uhr, 04.12.2015

Ich vermute, dass Hubs als Ortsvektor des Stützpunkts der Geraden

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

anstelle von

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

verwendet hat.

Meine Lösung für

a \neq 8

ist:

r = \frac{a + 13}{a - 8}, s = \frac{a + 7}{8 - a}, t = \frac{3}{8 - a}

und damit

x_{S} = \frac{3}{8 - a}, y_{S} = \frac{2 a + 8}{8 - a}, z_{S} = \frac{14 - a}{8 - a}

Und - ja - es ist eine unangenehme Aufgabe.

R

Stephan4

10:13 Uhr, 05.12.2015

Ohne kompliziertes Gleichungssystem kommt man auf

S_{A}

einfach durch
Parallelprojektion des Stützpunktes der Geraden
in Richtung der Geraden auf die Ebene:

S = G + \frac{\vec{G E} \cdot \vec{n}}{\vec{g} \cdot \vec{n}} \cdot \vec{g}

wobei

G =

Stützpunktes der Geraden

\vec{g} =

Richtungevektor der Geraden

E =

Stützpunktes der Ebene

\vec{n} =

Richtungevektor der Ebene

\vec{n} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) x (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix})

S = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + \frac{[(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 1 \\ a \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix})} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ a \\ 2 \end{matrix})

S = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + \frac{3}{8 - a} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ a \\ 2 \end{matrix})

:-)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1273886

1273076

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?