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Schnittpunkt einer Geraden & Würfel mit Vektoren

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Körper

Vektorräume

Tags: Körper, Schnittpunkt, Vektorraum, Würfel

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08:00 Uhr, 22.11.2013

Hallo zusammen!

Ich habe folgende Situtation:

Hintergrund ist ein Detektionssystem.
In einem Volumen ordne ich einen Würfel an, den ich sowohl radial als auch axial verschieben möchte. Dadurch ändert sich der Abstand vom Mittelpunkt des Würfels zu meinem Detektor (Ursprung Koord.)
Ich möchte nun mit Hilfe einer Geraden, die aus dem Mittelpunkt des Würfels zum Detektor geht, die Weglänge vom Würfelmittelpunkt bis zur Würfeloberfläche (Ebene) bestimmen.

Dies möchte ich mit Hilfe des Schnittpunkts einer Geraden die vom Mittelpunkt des Würfels zum Detektor geht und einer Funktion für den Würfel selbst, realisieren. Also einer Ebene bzw. einer Seitenfläche des Würfels durch die die Gerade hindurchgeht.

Die Gerade lautet also Allgemein:

p = (\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1} \end{matrix}) + x \cdot (\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2} \end{matrix})

Nun benötigen ich eine vektorielle Darstellung dieses Würfels und seiner Seitenfläche/Ebene um die beiden Gleichungen dann gleichzusetzen und per quadratische Gleichung Ax²

+

+ c = 0

lösen zu können.

Aber gerade stehe ich irgendwie auf dem Schlauch beim erzeugen dieses Würfels/Ebene.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Beste Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Sina86

08:30 Uhr, 22.11.2013

Hallo,

also, um die Seitenfläche darzustellen, müsstest du wie folgt vorgehen. Du benötigst den Koordinatenvektor

\vec{v}

des Mittelpunkts einer Seitenfläche. Die Seitenfläche wird berandet von zwei Kanten

a

und

b

(der Rand besteht aus zwei parallelen Kopien von

a

und zwei parallelen Kopien von

b

). Nun bestimmst du die Koordinatenmittelpunkte

{\vec{v}}_{a}

und

{\vec{v}}_{b}

von

a

und

b

. Dann ist die Seitenfläche

S = {\vec{v} + λ ({\vec{v}}_{b} - \vec{v}) + μ ({\vec{v}}_{a} - \vec{v}) : λ, μ \in [- 1, 1]}

Beste Grüße
Sina

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08:54 Uhr, 22.11.2013

Ich habe noch einige Fragen hierzu:

1. Das mit dem Koordinantevektor des Mittelpunkts der Seitenfläche habe ich verstanden. Wie aber definiere ich die Koordinatenmittelpunkte von

(v_{a})

und

(v_{b})

? Ich dachte man benötigt 2 Richtungsvektoren um eine Ebene aufspannen zu können? Dies sollen aber ebenfalls Ortsvektoren sein ?

O o

2. Wenn ich die Gleichung der Ebene und die der Geraden gleichsetzen möchte, dann muss ich doch

p = S

setzen oder?

Sina86

22:03 Uhr, 22.11.2013

Hallo,

zu 1)
die Richtungsvektoren sind die Verbindungsvektoren

v_{a} - v

und

v_{b} - v

, die vom Stützvektor

v

zu den Mittelpunkten der Kanten gehen. Dies habe ich nur gemacht, da deine Ebene unendlich ausgedehnt ist. Mit dieser Konstruktion kannst du dann anhand des Wertes von

λ

und

μ

entscheiden, ob der Schnittpunkt in der Seitenfläche liegt (eine Skizze hilft hier wahrscheinlich), denn

zu 2)
zum rechnen solltest du

p = E

setzen, wobei

E := {v + λ (v_{a} - v) + μ (v_{b} - v) : λ, μ \in ℝ}

die Ebene ist, die die Seitenfläche

S

enthält. Wenn du dann die Lösungen für

μ

und

λ

rausbekommst, und entweder

λ \notin [- 1, 1]

oder

μ \notin [- 1, 1]

ist, schneidet die Gerade die Seitenfläche nicht.

Beste Grüße
Sina

1128226

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