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Seitenlängen / Winkelgrößen im Viereck bestimmen

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Kosinussatz, Sinussatz

Elvira2012 aktiv_icon

20:01 Uhr, 12.09.2012

Hallo zusammen,
ich bin hier wieder mal völlig hilflos

: - (

Ich sitze hier wie'n Ochs vorm Berg und frage mich, ob ich überhaupt schon mal was in Mathe gerafft habe... *heul*

Berechne die fehlenden Seitenlängen und Winkelgrößen des Vierecks ABCD.
Suche geeignete Teildreiecke, in denen man den Sinunssatz oder den Kosinussatz anwenden kann.

a) a = 10

cm;

b = 8

cm;

c = 7

cm;

d = 7

cm; β = 75°.

Kann mir hier bitte jemand einen Ansatz geben?

Danke,
Elvira

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Berechnungen im Dreieck mit dem Sinussatz

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Eva88 aktiv_icon

20:36 Uhr, 12.09.2012

Betrachten wir das Dreieck abe. Dann gilt Cosinussatz

e^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos (β)

Rechne mal

e

aus.

Elvira2012 aktiv_icon

20:44 Uhr, 12.09.2012

Hallo Eva,

warum sehe ich sowas nicht???

Da habe ich

11,07

raus.

LG
Elvira

Eva88 aktiv_icon

20:45 Uhr, 12.09.2012

Gut, ist richtig. Jetzt kannst du in dem Dreieck weiterrechnen.

Mach mal Vorschläge.

Elvira2012 aktiv_icon

20:50 Uhr, 12.09.2012

. .

α =

acos((a² - b² - c²)/

(- 2 \cdot b \cdot c))

Ich weiß immer nicht was jetzt in dem Dreieck

a, b, c

sein soll - gibt es dazu eine Regel?

Eva88 aktiv_icon

20:52 Uhr, 12.09.2012

Die Längen

a, b

und

c

bilden doch gar kein Dreieck.

Weiter im Dreieck abe

Elvira2012 aktiv_icon

20:54 Uhr, 12.09.2012

. .

. aber die Formel stimmt soweit

- - -

bis auf die Buchstaben, oder?

Eva88 aktiv_icon

20:55 Uhr, 12.09.2012

Das mit den Buchstaben musst du umdenken denn unser Dreick heißst abe und nicht abc sonst kommen wir komplett durcheinander.

Elvira2012 aktiv_icon

20:59 Uhr, 12.09.2012

Damit komme ich immer total Durcheinander

: - (

Also dann so?
α= acos((a² - b² - e²)/ (−2⋅b⋅e))

Eva88 aktiv_icon

20:59 Uhr, 12.09.2012

Du kannst den Sinussatz im Dreieck abe anwenden.

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21:04 Uhr, 12.09.2012

\frac{b}{sin β} = \frac{a}{sin α}

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21:10 Uhr, 12.09.2012

Das stimmt ja in unserem Fall nicht, da

α

nicht gegenüber von a liegt und

β

nicht gegenüber von

b .

Winkel und Seiten liegen sich immer gegenüber.

\frac{sin (γ)}{a} = \frac{sin (β)}{e}

( Der Teil von

γ

in dem Dreieck ). Den brauchen wir später.

Rechne mal

γ

aus.

Elvira2012 aktiv_icon

21:14 Uhr, 12.09.2012

Ich hätte dann jetzt folgendes aufgeschrieben:

\frac{e}{sin β} = \frac{a}{sin γ}

Du machst es genau andersherum?

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21:16 Uhr, 12.09.2012

Ja klar, dann ist es einfacher nach

γ

aufzulösen. Ist genau das selbe.

Elvira2012 aktiv_icon

21:19 Uhr, 12.09.2012

Echt? Kann ich trotzdem mit meiner Variante weitermachen - mein Lehrer hat uns die Formel gegeben...

Eva88 aktiv_icon

21:20 Uhr, 12.09.2012

Klar, wenn du möchtest. Nach

γ

auflösen.

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21:21 Uhr, 12.09.2012

Oder kann ich immer, wenn bei einer Gleichung zwei Brüche stehen, die einfach beide umdrehen?

Elvira2012 aktiv_icon

21:23 Uhr, 12.09.2012

. .

. da kommt für

γ 60,76

und dann für

α = 44,24

raus
:-)

Eva88 aktiv_icon

21:25 Uhr, 12.09.2012

Ja, in diesem Fall ja.

Nur als Beispiel

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

nach

d

auflösen

\frac{d}{b} = \frac{c}{a}

d = c \cdot \frac{b}{a}

jetzt gedreht

\frac{b}{a} = \frac{d}{c}

d = c \cdot \frac{b}{a}

Hast du für

γ 1

einen Wert?

Elvira2012 aktiv_icon

21:29 Uhr, 12.09.2012

Ja, γ

= 60,76

und α

= 44,24

Eva88 aktiv_icon

21:31 Uhr, 12.09.2012

Gut,

γ

ist korrekt.

Wie hast du

α

berechnet?

Elvira2012 aktiv_icon

21:33 Uhr, 12.09.2012

180 - 75 - 60,76

:-) Zumindest das weiß ich

\cdot g \cdot

Eva88 aktiv_icon

21:35 Uhr, 12.09.2012

Ja, aber nur der Teil im Dreieck abe.

Jetzt ins Dreieck

c, d, e .

Stell mal ne Gleichung auf.

Elvira2012 aktiv_icon

21:38 Uhr, 12.09.2012

Also, jetzt betrachte ich das Dreieck ACD...

geg:

e =

11,07cm

; d =

7cm;

c =

7cm

Ähmmm... ist denn da

γ = 60,76

?
Kann ja eigentlich nicht, oder?

Ansonsten habe ich da ja nur 3 Seiten

. .

. ach

. .

. wieder mit dem Kosinussatz, oder?

Eva88 aktiv_icon

21:40 Uhr, 12.09.2012

Richtig, der Cosinussatz umgestellt nach

δ

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21:44 Uhr, 12.09.2012

O

je...

Also

. .

. ich versuchs:

e² = c²

+

d² - 2cd

\cdot cos δ

Habe ich die richtigen Buchstaben benutzt?

Eva88 aktiv_icon

21:46 Uhr, 12.09.2012

Ja, ist perfekt, jetzt nach

δ

auflösen.

Elvira2012 aktiv_icon

21:46 Uhr, 12.09.2012

cos δ =

e²-c²-d²/-2cd

Eva88 aktiv_icon

21:47 Uhr, 12.09.2012

Ja richtig, wie groß ist delta?

Elvira2012 aktiv_icon

21:50 Uhr, 12.09.2012

Hmmm.. ich bekomme da

104,5

raus... ?!

Elvira2012 aktiv_icon

21:51 Uhr, 12.09.2012

Hmmm.. ich bekomme da

104,5

raus... ?!

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21:52 Uhr, 12.09.2012

Ja, klappt doch.

Jetzt den

γ

Teil in diesem Dreieck.

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21:56 Uhr, 12.09.2012

\frac{sin δ}{e} = \frac{sin γ}{d}

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21:57 Uhr, 12.09.2012

Richtig, nach

γ

auflösen.

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22:00 Uhr, 12.09.2012

γ = 37,74

α = 180 - 37,74 - 104,50 = 37,76

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22:02 Uhr, 12.09.2012

Richtig, jetzt die beiden

γ

Winkel addieren. Dann kennst du 3 Winkel im Viereck.

Denn letzen Winkel berechnen und

f

noch ausrechnen.

Elvira2012 aktiv_icon

22:05 Uhr, 12.09.2012

γ 1 + γ 2 = 98,5

β = 75

Und welchen kenne ich noch??

Ach

. .

δ = 104,50

Und der letzte ist dann:

360 - 98,5 - 75 - 104,5 = 82

:-)

Eva88 aktiv_icon

22:06 Uhr, 12.09.2012

Ist ok, jetzt noch

f

aus adf

Elvira2012 aktiv_icon

22:14 Uhr, 12.09.2012

Also...

Ich betrachte das Dreieck BCD

geg:

b = 8

cm;

c = 7

cm;

γ = 98,5

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22:16 Uhr, 12.09.2012

bcd bildet kein Dreieck.

Betrachte das Dreieck adf

Elvira2012 aktiv_icon

22:16 Uhr, 12.09.2012

Also das Dreieck ABD...

Eva88 aktiv_icon

22:18 Uhr, 12.09.2012

abf ist doch kein Dreieck !

adf

mit Winkel

α

Elvira2012 aktiv_icon

22:21 Uhr, 12.09.2012

In meinem Schädel brummt's

. .

. aber wir sind ja schon auf der Zielgeraden :-)

f²=a²+d²-2ad*cos⁡(α)

f = 11,38

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22:24 Uhr, 12.09.2012

\frac{sin α}{f}

was soll das denn sein?

f^{2} = a^{2} + d^{2} - 2 \cdot a \cdot d \cdot cos α

jetzt

f

bestimmen.

Elvira2012 aktiv_icon

22:25 Uhr, 12.09.2012

Sorry - hatte die Formel noch korrigiert - mein Netz hakte :-)

Eva88 aktiv_icon

22:27 Uhr, 12.09.2012

11,38

ist richtig, das wars.

Elvira2012 aktiv_icon

22:28 Uhr, 12.09.2012

Herzlichen Dank für Deine Hilfe und Geduld :-)

Jetzt muss ich noch diese Aufgabe lösen:
http//www.onlinemathe.de/forum/Hoehe-eines-Baumes-messen

Puh... mir raucht der Schädel ;-)

Eva88 aktiv_icon

22:29 Uhr, 12.09.2012

Ok, hab die gelesen, helfe dir.

Eva88 aktiv_icon

22:38 Uhr, 12.09.2012

Bin in der Aufgabe im Forum

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