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Stammfunktion von (ln(x/2))² ?

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Integral, Integralrechnung, Partielle Integration, Stammfunktion

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Mark1000

Mark1000 aktiv_icon

17:39 Uhr, 14.03.2023

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Hallo,

ich benötige Hilfe bei der bestimmung der Stammfunktion von (ln(x/2))² mithilfe von partieller Integration, kann mir jemand dabei helfen?

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stammfunktion
ln-Funktion

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Online-Nachhilfe in Mathematik

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Punov

Punov aktiv_icon

17:54 Uhr, 14.03.2023

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Hallo, Mark1000!

Zunächst würde ich

y = \frac{x}{2}

substituieren, dann bekommt man

\int \ln^{2} (x / 2) d x = 2 \int \ln^{2} (y) d y

und das kann man jetzt schön(er) partiell integrieren: Zum Beispiel kann man

f ʹ = 1

und

g = \ln^{2} (y)

setzen.

Viele Grüße

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Randolph Esser

Randolph Esser aktiv_icon

19:29 Uhr, 14.03.2023

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Hallo,

\int {ln (\frac{x}{2})}^{2} d x = \int {(ln (x) - ln (2))}^{2} d x

= \int ({ln (x)}^{2} - 2 ln (x) ln (2) + {ln (2)}^{2}) d x

= \int {ln (x)}^{2} d x - \int 2 ln (x) ln (2) d x + \int {ln (2)}^{2} d x

.

Nun ist

\int {ln (x)}^{2} d x = x {ln (x)}^{2} - 2 \int ln (x) d x

= x {ln (x)}^{2} - 2 x ln (x) + \int 1 d x = x {ln (x)}^{2} - 2 x ln (x) + 2 x,

\int 2 ln (x) ln (2) d x = 2 ln (2) (x ln (x) - x)

(gleicher Trick wie zuvor),

\int {ln (2)}^{2} d x = {ln (2)}^{2} x

und somit

\int {ln (\frac{x}{2})}^{2} d x = x ({ln (x)}^{2} - 2 ln (x) + 2 - 2 ln (2) ln (x) + 2 ln (2) + {ln (2)}^{2})

= x ({ln (\frac{x}{2})}^{2} - 2 ln (x) + 2 + 2 ln (2)) = x ({ln (\frac{x}{2})}^{2} - 2 ln (x) + 2 + ln (4))

.

Mark1000

Mark1000 aktiv_icon

23:30 Uhr, 14.03.2023

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Die antworten haben mir sehr geholfen, ich konnte nun alles verstehen und das Rotationsvolumen an der y-Achse berechnen, vielen Dank für die Rettung!

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Randolph Esser

Randolph Esser aktiv_icon

01:05 Uhr, 15.03.2023

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Mal mit Substitution:

\int {ln (\frac{x}{2})}^{2} d x

|Sub.:

y = \frac{x}{2} \Rightarrow 2 d y = d x

= 2 \int {ln (y)}^{2} d x = 2 y {ln (y)}^{2} - 4 \int ln (y) d y

= 2 y {ln (y)}^{2} - 4 y ln (y) + \int 4 d y

= 2 y {ln (y)}^{2} - 4 y ln (y) + 4 y

= x ({ln (\frac{x}{2})}^{2} - 2 ln (\frac{x}{2}) + 2)

= x ({ln (\frac{x}{2})}^{2} - 2 ln (x) + ln (4) + 2)

.

Geht besser !

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