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Stammfunktion zu einer Funktionenschar

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Funktionenschar, Integral

DerPicknicker aktiv_icon

15:16 Uhr, 28.03.2010

Hallo zusammen!
Ich möchte die Funktionenschar

f_{k} (x)

integrieren. Dafür habe ich das Verfahren der Integration durch Substitution gewählt. Die Lösung ist (6.) angegeben. Aber darauf komme ich nicht. Ich hänge Euch meine Rechnung an.
Wer sieht meinen Fehler?

f_{k} (x) = 2 k * x * e^{- 4 x^{2}}

F (x) = ?

V e r f a h r e n :

Integration durch Substituion
_________________________________________________________________________________________

1 .

Umformung von

f_{k} (x)

f_{k} (x) = 2 k * x * e^{- 4 x^{2}}

= - \frac{1}{8} * 2 k * - 8 x * e^{- 4 x^{2}}

= - \frac{k}{4} * - 8 x * e^{- 4 x^{2}}

2 .

Bennenung der Einzelfunktionen

f_{k} (x) = - \frac{k}{4} * - 8 x * e^{- 4 x^{2}}

= a * v ʹ (x) * u (v (x))

\Rightarrow a = - \frac{k}{4}; v (x) = - 4 x^{2}; v ʹ (x) = - 8 x; u (x) = e^{v (x)}; U (x) = \frac{1}{v ʹ (x)} * e^{v (x)}

3 .

Beschreibung des Integrals

\int - \frac{k}{4} * - 8 x * e^{- 4 x^{2}}, d x = - \frac{k}{4} * \int - 8 x * e^{- 4 x^{2}}, d x

= a * \int v ʹ (x) * u (v (x)), d x

4 .

Durchführung der Integration

a * \int v ʹ (x) * u (v (x)), d x = \int u (z), d z

mit

z = v (x) = - 4 x^{2}

\Rightarrow - \frac{k}{4} * \int e^{z}, d z = - \frac{k}{4} * [\frac{1}{z ʹ} * e^{z}] = - \frac{k}{4} * \frac{1}{- 8 x} * e^{- 4 x^{2}}

5 .

Integral laut Substitution

F_{k} (x) = - \frac{k}{4} * \frac{1}{- 8 x} * e^{- 4 x^{2}}

6 .

Korrekte Lösung

F_{k} (x) = - \frac{k}{4} * e^{- 4 x^{2}}

_________________________________________________________________________________________

p.s.: Der Weg der partiellen Integration führt meiner Meinung nach in einer Sackgasse. Habe diesen mehrfach probiert und es erscheinen immer kompliziertere Restintegrale. Deswegen muss es mit dem obigen Weg klappen..

Gruß,
Der Picknicker

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

CKims aktiv_icon

15:26 Uhr, 28.03.2010

hallo,

der fehler steckt im 4 schritt. das integral von

\int e^{z} d z = e^{z}

dieses

\frac{1}{z'}

ist falsch.

lg

DerPicknicker aktiv_icon

15:38 Uhr, 28.03.2010

Ach deswegen substituiere ich ja auch das v(x) durch die VARIABLE z!!!
Ich bin so dämlich. Habe die ganze Zeit auch das z als Funktion angesehen...

Sowas banales hat mich jetzt Stunden aufgehalten..

Danke!

CKims aktiv_icon

15:40 Uhr, 28.03.2010

so lernt man am besten ;-) das wird sich jetzt in dein gehirn eingebrannt haben :-)

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