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Steigung und Ableitung

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Differentialquotient, Schnittpunkt, Steigung, Tangentengleichung

sara-92 aktiv_icon

12:53 Uhr, 21.02.2010

Gegeben sind die Funktionen

f (x) = - x^{2} + 4

und

g (x) = x^{2} - 5 x + 6

a)

An welcher Stelle haben

f

und

g

dieselbe Steigung.
Muss ich jetzt die Ableitunsfunktionen

f'

und

g'

gleichsetzen?
Dann würde für

x = 1,25

herauskommen. Muss ich

x

dann in

f

oder

g

einsetzen?

b)

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von

f

für

x = - 1,5

.
Rechnung:

f' (- 1,5) = - 2 \cdot - 1,5 = 3 = m

f (- 1,5) = - {(- 1,5)}^{2} + 4 = 1,75

t (x) = m \cdot x + b

1,75 = 3 \cdot - 1,5 + b

b = 6,25

Tangentengleichung:

t (x) = 3 x + 6,25

Stimmt das so?

c) h (x) = 3 x + a

beschreibt die Tangente an den Graphen von

g

im Punkt P.
Berechnen Sie a und P.
Rechnung:

g' (x) = 2 x - 5 = 3 = m

x = 4

y = g (x) = 4^{2} - 5 \cdot 4 + 6 = 2

P (4 / 2)

Einsetzen von

P \in h (x) = 3 x + a

a = - 10

Stimmt das?

d)

Bestimmen Sie die Steigung von

f

bei

x_{0} = 1

mithilfe des Differentialquotienten.
Rechnung:

f' (x) = - 2 x

Substitution:

x = 1 + h

lim_{h \to 0} = \frac{[- 2 (1 + h)] - [- 2 \cdot 1]}{h} = lim_{h \to 0} \frac{- 2 - 2 h + 2}{h} = lim_{h \to 0} \frac{- 2 h}{h} = - 2

Stimmt das? Kann man diese Aufgabe nur mit der h-Methode lösen?

e)Berechnen Sie

lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{g (x)}

.
Rechnung

lim_{x \to \infty} \frac{- x^{2} + 4}{x^{2} - 5 x + 6} = lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (- 1 + \frac{4}{x^{2}})}{x^{2} (- \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}})} =

lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + \frac{4}{x^{2}}}{- \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}} =

? Ist das bisher richtig? Was ist das Ergebnis?

f)

Zeigen Sie, dass sich die Tangenten in den Schnittpunkten der Graphen von

f

und

g

unter den gleichen Winkeln schneiden.
Muss ich jetzt wieder gleichsetzen? Wie soll ich das denn zeigen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Schnittpunkte bestimmen
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

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Fefel

13:07 Uhr, 21.02.2010

Hallo,

a)

ist richtig

Steigung ist

- 2,5

und

x

in beide Gleichungen einsetzen um

y

zu bekommen

(\frac{39}{16}

und

\frac{21}{16})

b)

Tangentengleichung

t (x) = 3 x + 6,25

c)

ist richtig

sara-92 aktiv_icon

13:19 Uhr, 21.02.2010

Ohja, stimmt! Aufgabe

b)

habe ich falsch eingetragen.
Aber warum ist die Steigung bei Aufgabe

a) - 2,5

? Wie kommt man darauf?
Ich weiß doch nur einen x-Wert und zwei y-Werte...

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14:25 Uhr, 21.02.2010

f' (x) = g' (x)

- 2 x = 2 x - 5

4 x = 5

x = \frac{5}{4} = 1,25

\Rightarrow

An der Stelle

1,25

haben beide Funktionen die selbe Steigung(und zwar beide die Steigung

- 2,5

aber danach ist gar nicht gefragt)
Du hattest das schon richtig.

Wie man draufkommt?

f' (1,25) = - 2 \cdot 1,25 = - 2,5

Oder:

g' (1,25) = 2 \cdot 1,25 - 5 = - 2,5

sara-92 aktiv_icon

20:40 Uhr, 21.02.2010

Okay, danke erstmal! Könntest du mir noch bei den letzten beiden Aufgaben helfen?

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20:52 Uhr, 21.02.2010

c)

hast du richtig.

Und bei der

d)

kannst du auch so rechnen:

f (1) = 3

\frac{3 - (- x^{2} + 4)}{1 - x} = \frac{3 + x^{2} - 4}{1 - x} = \frac{x^{2} - 1}{1 - x} = \frac{(x + 1) (x - 1)}{- (x - 1)} = - (x + 1)

Und für

x \to 1

gilt also

- (1 + 1) = - 2

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20:59 Uhr, 21.02.2010

Und

e)

lim_{x \to \infty} \frac{- x^{2} + 4}{x^{2} - 5 x + 6} = lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (- 1 + \frac{4}{x^{2}})}{x^{2} (1 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}})} = lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + \frac{4}{x^{2}}}{1 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}

Hier gehen alle Summanden die

x

oder

x^{2}

im Nenner haben für

x \to \infty

gegen 0 also bleibt dann übrig

\frac{- 1}{1} = - 1

Somit

lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{g (x)} = - 1

Andere Möglichkeit wäre L'Hospital, ich weiß aber nicht ob ihr das schon hattet.

lim_{x \to \infty} \frac{- x^{2} + 4}{x^{2} - 5 x + 6} = lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x}{2 x - 5} = lim_{x \to \infty} \frac{- 2}{2} = lim_{x \to \infty} - 1 = - 1

sara-92 aktiv_icon

21:31 Uhr, 21.02.2010

Okay, Aufgabe

e)

habe ich verstanden.
L'Hospital hatten wir noch nicht, aber deinen Rechenweg kann ich verstehen.
Wie du Aufgabe

d)

noch gerechnet hast, kann ich leider überhaupt nicht verstehen...

Jetzt fehlt nur noch die letzte Aufgabe.
Ich muss doch erst

f

und

g

gleichsetzen, dann bekomme ich zwei x-Werte und zwei y-Werte. Rechne ich weiter, habe ich letztendlich zwei Tangentengleichungen, dann komme ich nicht mehr weiter.
War das überhaupt richtig?

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21:40 Uhr, 21.02.2010

- x^{2} + 4 = x^{2} - 5 x + 6

2 x^{2} - 5 x + 2 = 0

x^{2} - 2,5 x + 1 = 0

PQ-Formel führt zu:

x_{1} = 2

und

x_{2} = 0,5

f' (x) = - 2 x \Leftrightarrow f' (2) = - 4 \Leftrightarrow f' (0,5) = - 1

g' (x) = 2 x - 5 \Leftrightarrow g' (2) = - 1 \Leftrightarrow g' (0,5) = - 4

Zweimal die selben Steigungen also sind auch die Schnittwinkel gleich und zwar ist der Schnittwinkel nach der Formel beidemale:

tan (α) = | \frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1} \cdot m_{2}} |

Also:

tan (α) = | \frac{- 4 - 1}{1 + (- 4) \cdot (- 1)} | = | - 1 | = 1

\to α = a r c t a n (1) = 45

(a r c t a n

ist auf dem Taschenrechner meist

{tan}^{- 1})

Shipwater

sara-92 aktiv_icon

21:51 Uhr, 21.02.2010

Warum setzt du nur

x_{1} = 2

für

f'

und

g'

ein und nicht auch

0,5

?
Ist die Lösung nur der Winkel 45°?

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22:05 Uhr, 21.02.2010

Ich hab doch beide eingesetzt? Und eine richtige Lösung gibt es hier ja nicht. Du sollst ja zeigen, dass etwas gilt. Und das habe ich gemacht.
Nach dem Schnittwinkel war nicht gefragt, habe ihn aber trotzdem mal berechnet.

sara-92 aktiv_icon

22:09 Uhr, 21.02.2010

Stimmt. Vielen Dank erstmal!
Und wenn ich mich in der nächsten Mathestunde melde, welche Ergebnisse soll ich nennen?
Ich blick momentan nicht ganz durch...

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15:07 Uhr, 22.02.2010

Ein wirkliches "Ergebnis" gibt es ja nicht. Du sollst ja zeigen(!), dass die Schnittwinkel der Tangenten in den Schnittpunkten gleich sind. Dies ist dann der Fall, wenn die Steigungen der Tangenten gleich sind. Denn eine Gerade mit der Steigung

- 1

schneidet eine Gerade mit der Steigung

- 4

immer mit dem selben Schnittwinkel. Beim Schnittwinkel spielen nur die Steigungen eine Rolle.

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