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Textaufgabe Kreis und Rechteck (Fenster)

Schüler Kolleg, 10. Klassenstufe

Tags: Fenster, Formel, Kreis, Rechteck

Nightdragon aktiv_icon

10:36 Uhr, 26.01.2010

Hallo,

ich kommen bei dieser Aufgabe bei der Berechnung der Nullstellen nicht weiter. Total simpel, ich weiß, aber ich habe gerade einen totalen Blackout.

Ein Fenster ist so gebaut, dass der untere Teil aus einem Rechteck besteht, dem ein Halbkreis aufgesetzt ist. Der Umfang des Festers beträgt

15 m

. Das Fenster soll eine maximale größe haben.

Die Gleichung für dne Umfang aufstellen:

15 = π \cdot r + 2 h + 2 r

Die Gleichung für die Fläche:

A=2rh+

\frac{1}{2} \cdot π \cdot r^{2}

Die Erste Gleichung nach

h

auflösen:

2 h = 15 - 2 r - π \cdot r | : 2

h = 7,5 - 1 r - \frac{1}{2} \cdot π \cdot r

Also ist die Formel für die Fläche:

A = 2 r (7,5 - r - \frac{1}{2} \cdot π \cdot r) + \frac{1}{2} \cdot π \cdot r^{2}

\Rightarrow A = r^{2} (- 2 - \frac{1}{2} \cdot π) + 15 r

Und dann muss man die Nullstellen berechnen:

0 = - 2 r^{2} - \frac{1}{2} \cdot π \cdot r^{2} + 15 r

und wie jetzt weiter?

Vielen Dank für eure Hilfe im vorraus

=)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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Astor aktiv_icon

10:42 Uhr, 26.01.2010

Hallo,
für Maxima benötigt man die Nullstellen der Ableitung von A.
Gruß Astor

Nightdragon aktiv_icon

10:47 Uhr, 26.01.2010

wie geht das?

Unsere Mathelehrerin hat nur gesagt, man müsse jetzt die nullstellen berechnen.

Jackie251 aktiv_icon

10:56 Uhr, 26.01.2010

Der tipp mit der ableitung wir einem in der

10

. Klasse nicht viel nützen.
ist aber natürlich auch nicht erforderlich, weil es ja nur eine Quadratische Funktion ist.

Die Nullstellen der Funktion selber kannst du mit der Lösungsformel oder mit der quadratischen Ergänzung ermitteln.
Ich würde empfehlen zunächst eine kleine Wertetabelle zu machen und die Funktion zu zeichenen. Dann kannst du dir vorstellen wie sich die Fläche und der Radius zueinander entwickeln. Wenn du den Graph siehst solltes du ohne Schwierigkeit erkennen wo das Maximum ist.

Nightdragon aktiv_icon

11:12 Uhr, 26.01.2010

Entschuldige bitte, aber so möchte ich es nicht machen. Ich soll es mit den Nullstellen machen, denn so wird die Aufgabe auch in der klassenarbeit vorkommen.

Kann mir jemand einfach den Weg mit den Nullstellen schreiben?

Jackie251 aktiv_icon

11:30 Uhr, 26.01.2010

ja klar, habe ich schon geschrieben.
du hast eine quadratische Funktion die

= 0

ergibt
also:
LÖSUNGSFORMEL
oder
quadratische Ergänzung

mittels Nullstellen ist zwar möglich, allerdings.... Wenn du die Nullstellen hast, WAS wäre dann das Ergebnis?
Ich glaube nicht das du das weißt.
Und entschuldige, aber ich möchte dir nicht sagen warum/wie man anhand der Nullstellen die Lösung erhält (was ich nebenbei bemerkt für einen schlechten Rechenweg halte) sondern ich möchte das du etwas lernst, und weißt WARUM du WAS berechnest.

Astor aktiv_icon

11:32 Uhr, 26.01.2010

Also:

r^{2} (- 2 - \frac{π}{2}) + 15 r = r * [(- 2 - \frac{π}{2}) r + 15]

Die eine Nullstelle ist

r = 0

, die andere ergibt sich aus

[- 2 - \frac{π}{2}] r + 15 = 0

Die Nullstelle

r = 0

ist für diese praktische Aufgabe sinnlos.

Da aber A eine nach unten geöffnete Parabel darstellt, liegt das Maximum genau in der Mitte der beiden Nullstellen.

Gruß Astor

Jackie251 aktiv_icon

11:49 Uhr, 26.01.2010

wieso sinnlos?
wie kommst du denn bitte auf den extrempunkt wenn du nur eine NST kennst?

Astor aktiv_icon

11:53 Uhr, 26.01.2010

@jackie,
da das ganze ja ohne Ableitungen gelöst werden soll, betrachtet man den Graphen der Fläche

A (r)

A (r)

ist graphisch eine nach unten geöffnete Parabel, mit den Nullstellen

r = 0

und

r = \frac{30}{4 + π}

Der Scheitel der Parabel liegt in der Mitte der Nullstellen.
Also liegt das Maximum der Parabel (=Flächenfunktion) bei

r = \frac{15}{4 + π}

Ich wollte nur ausdrücken, dass ein Fenster mit der Breite

b = 2 r

für

r = 0

praktisch sinnlos ist.

Gruß Astor

Jackie251 aktiv_icon

11:59 Uhr, 26.01.2010

für den mittelpunkt zwischen beiden NST braucht man normalerweise den graph oder beide NST, selbst wenn diese

= 0

ist.

Man kann keinen Mittelpunkt angeben wenn man nur eine NST kennt.
Nicht Spezialfälle lernen und in der Prüfung scheitern, sondern gleich richtig lernen.

Nightdragon aktiv_icon

20:39 Uhr, 26.01.2010

ich verstehe leider nichts. Ich warte, bis ich morgen mathe habe. Danke tortzdem :-)

Jackie251 aktiv_icon

20:53 Uhr, 26.01.2010

Hm.
Das dachte ich ja.
Es ist ja nicht so das hier keiner der Helfen will.

Also ok, zurück zu deinem Weg:

du hast die Gleichung

- 2 r^{2} - \frac{π \cdot r^{2}}{2} + 15 \cdot r = 0

das ist nichts weiter als eine quadratische Gleichung

für die Lösungsformel muss die Normalform vorliegen, also

x^{2}

+px

+ q = 0

bei dir ist

x

eben

r

für

π ()

musst du eine Zahl einsetzen, 2 Nachkommastellen reichen dafür.

Wie lautet denn die Normalform

?

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