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Torbogen: Integral-/Differntialrechnung

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Fläche, sage, Torbogen, Winkel

josen15 aktiv_icon

12:26 Uhr, 08.03.2011

Hallo an alle :-)
Bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:
Torbogen durch die Funktion

f (x) = 2,4 - 0,2 (e^{2,5} x + e^{- 2,5} x)

imaginäre y-Achse genau mittig durch das Tor läuft

2) ln

welchem Winkel muss die Säge beim Ausschneiden des Bogens
angesetzt werden? (Habe mal ungefähr eine Tangente so eingezeichnet, wie ein rechtwinkliges Dreieck entstehen würde. Ein kompletter Lösungsweg mit kurzer Erklärung würde mir reichen.

3)

Die Sperrholzwand wird nach dem Aussägen gestrichen. Wie groß ist
die zu streichende Fläche? (Meine Idee:

8 x 4

(Das Rechteck) minus das Integral von 0 bis 1 mal 2 (weil es ja auch bis

- 1

geht)
Stammfunktion habe ich bereits:

e^{2,5} x + e^{- 2,5} x

Direkt die Lösung mit Lösungsweg würde mir reichen. Ich denke das würde ich alles verstehen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Winkel - Einführung
Winkelberechnungen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

mathemario aktiv_icon

13:17 Uhr, 08.03.2011

Kompletter Aufgabentext wäre besser.

zu

2)

Aber wenn ich es richtig verstehe musst Du bloß die Steigung der Tangenten an den Graph von

f (x)

an den Nullstellen ausrechnen.

Also Nullstellen ermitteln, 1. Ableitung bilden, Nullstelle einsetzen, arctan(f'(x1/2)) (DEG!)

zu

3)

Dein Ansatz sollte stimmen.

Was kannst Du nicht?

DmitriJakov aktiv_icon

13:22 Uhr, 08.03.2011

Nun, die Säge muss in dem Winkel angesetzt werden, der der Steigung der Tangente an der Nullstelle der Funktion entspricht. Geogebra zeigt hier als Nullstelle

\pm 1

. .

. aber wenn man hinscrollt, sieht man, dass

\pm 1

haarscharf verfehlt wird :-)

Wann wird

f (x)

also Null?

2,4 - 0,2 (e^{2,5 x} + \frac{1}{e^{2,5 x}}) = 0 | \cdot 12

12 - e^{2,5 x} - \frac{1}{e^{2,5 x}} = 0 | \cdot e^{2,5 x}

12 \cdot e^{2,5 x} - {(e^{2,5 x})}^{2} - 1 = 0

z := e^{2,5 x}

12 z - z^{2} - 1 = 0 | \cdot - 1

z^{2} - 12 z + 1 = 0

pq-Formel:

- (- \frac{12}{2}) \pm \sqrt{{(\frac{12}{2})}^{2} - 1} = 6 \pm \sqrt{35}

rücksubstituieren:

e^{2,5 x} = 6 \pm \sqrt{35} | ln

2,5 x = ln (6 \pm \sqrt{35})

x_{1} = \frac{2}{5} ln (6 + \sqrt{35}) \approx 0,991

x_{2} = \frac{2}{5} ln (6 - \sqrt{35}) \approx - 0,991

Nun gilt es

f' (x)

zu bestimmen und schliesslich

f' (x_{1})

Da der refresh der Vorschau aber nun langsam meinen Geduldsfaden reissen lässt, überlasse ich diese weiteren Schritte nun dem Threadersteller.

josen15 aktiv_icon

13:27 Uhr, 08.03.2011

Zu 2: zu DmitriJakov: Mit 1 als nullstelle und

- 1

das ist schon genau genug, aber danke für deine Bemühungen.

f

(x) w ä r e j a : - 0,5 \cdot e^{2,5} x + 0,5 \cdot e^{- 2,5} x o d e r ?

Und jetzt 1 einsetzen? Und dann? Ich brauche ja den Winkel..

Zu 3: Ich habe ein seltsames Ergebnis raus:

32 - 2 \cdot [F (1) - F (0)]

= 32 - 2 \cdot [e^{2,5} \cdot 1 + e^{- 2,5} \cdot 1) - (e^{0} + e^{0})

= 32 - 2 \cdot 10,26

= 11,47

Das kommt mir irgendwie seltsam vor.. Dann würde die Fläche außerhalb ja wesentlich geringer sein als die Fläche des Torbogens..

Gerd30.1 aktiv_icon

13:41 Uhr, 08.03.2011

Um die Winkel der Tangenten in

- 1

und

+ 1

zu bstimmen benötigt man

f' (x) = - 0,2 \cdot (2,5 e^{2,5 x} - 2,5 e^{- 2,5 x}),

also

f' (- 1) = - 0,2 \cdot (2,5 e^{- 2,5} - 2,5 e^{2,5}) = 6,05 \Rightarrow {tan}^{- 1} (6,05) = 80^{0}

f' (1) = - 0,2 \cdot (2,5 e^{2,5} - 2,5 e^{- 2,5}) = - 6,05 \Rightarrow {tan}^{- 1} (- 6,05) = - 80^{0}

DmitriJakov aktiv_icon

13:42 Uhr, 08.03.2011

Mit meinen

ln

als Nullstelle lösen sich Deine

e^{2,5 x}

in schöne runde glatte Zahlen auf. Denn

e^{ln (i r g e n d w a s)}

ergibt eben dieses

(i r g e n d w a s)

Aber ich will Dich zu nichts zwingen, am wenigsten zur richtigen Lösung der Aufgabe ;-)

mathemario aktiv_icon

13:45 Uhr, 08.03.2011

alpha~arctan(+-5,91608)~+-80,41°

Bezogen auf die x-Achse und den in Mathematik üblichen Drehsinn gegen den Uhrzeigersinn ergeben sich die Winkel 80,41° für

n 1

(links) und

99,59

für

n 2

(rechts).

mathemario aktiv_icon

13:56 Uhr, 08.03.2011

@gerdware

Die Nullstellen liegen aber nicht genau bei 1 und

- 1

mathemario aktiv_icon

14:03 Uhr, 08.03.2011

@josen15

Deine Stammfunktion ist falsch, leite sie doch mal ab.

Du hast den Faktor

- 0,2

unterschlagen.

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