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Umfangbest. eines Kreises durch Integralrechnung

Schüler

Tags: Bogenlänge einer Kurve, Integral, Stammfunktion

schneeman aktiv_icon

14:42 Uhr, 18.12.2010

ich soll den umfang eines kreises vom radius

r

mit hilfe der integralrechnung bestimmen.
formel für bogenlänge:

l = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f (x))}^{2}} d x

r = x

meine formel für die kurve des kreises im ersten quadranten:

f (x) = - x^{2} + x

. bin mir nicht sicher ob das so stimmt.
dann hab ich mein integral gebildet:

l = \int_{0}^{x} \sqrt{(1 + 4 x^{2} - 4 x + 1) d x}

. Das würde mir doch dann theoretisch die bogenlänge der kurve im ersten quadranten angeben, und die könnte ich dan zum schluss mal 4 nehmen, oder? um den ganzen kreis umfang zu bekommen.
wenn ich das integral auflöse, ist mein ergebnis

r^{2} - 2 r,

und mal 4 genommen

4 r^{2} - 8 r .

wen ich jetzt die ganz einfach formel des kreises zur berechnung des umfangs nehme. hier also,

b = \frac{2 \cdot r \cdot π \cdot 360}{360}

kommt

2 \cdot r \cdot π

raus. also muss bei meiner rechnung etwas schiefgelaufen sein...

ich hoffe jemand kann mir helfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stammfunktion
ln-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Alx123 aktiv_icon

14:55 Uhr, 18.12.2010

Die Kreisgleichung eines Kreises mit Radius r lautet ja:

x^{2} + y^{2} = r^{2} \Rightarrow y = \sqrt{r^{2} - x^{2}}

das muss du jetzt ins Integral einsetzen.

schneeman aktiv_icon

15:38 Uhr, 18.12.2010

muss ich die formel dann noch ableiten? schon oder? aber wie leite ich das ab? so

y' = \frac{1}{2} {(r^{2} - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}

und ich dachte

x

ist in dem fall

r

. stimmt das nicht?

Alx123 aktiv_icon

15:45 Uhr, 18.12.2010

Ja, das muss man noch ableiten, mit der Kettenregel gilt:

y^{'} (x) = - 2 x \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{r^{2} - x^{2}}}

schneeman aktiv_icon

15:55 Uhr, 18.12.2010

dann hab ich das integral

\int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{x^{2}}{r^{2} - x^{2}}) d x}

wie bekomm ich davon dann die stammfunktion? es wäre doch falsch jetzt die wurzel nur um die einzelnen summanden zu setzen...?
oder soll ich aus der 1 das hier formen:

\frac{r^{2} - x^{2}}{r^{2} - x^{2}}

und dann lässt sich alles zu diesem ergebnis zusammenfassen:

\sqrt{\frac{r^{2}}{r^{2} - x^{2}}}

. kann ich dann die wurzel einfach auflösen. und zwar so:

\frac{r}{r - x}

nieaufgeber aktiv_icon

16:07 Uhr, 18.12.2010

$4. \int_{0}^{r} \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{r^{2} - x^{2}}} d x = 4. r . \int_{0}^{r} \sqrt{\frac{1}{r^{2} - x^{2}}} = 4. r . [\sin^{- 1} \frac{x}{r}] = 2 π r$

Alx123 aktiv_icon

16:11 Uhr, 18.12.2010

So wie du es eingesetzt hast ist es schon richtig. Man sollte es nur noch ein bisschen zusammenfassen:

\int_{0}^{r} \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{r^{2} - x^{2}}} d x = \int_{0}^{r} \sqrt{\frac{r^{2} - x^{2}}{r^{2} - x^{2}} + \frac{x^{2}}{r^{2} - x^{2}}} d x = \int_{0}^{r} \sqrt{\frac{r^{2}}{r^{2} - x^{2}}} d x = r \cdot \int_{0}^{r} \frac{1}{\sqrt{r^{2} - x^{2}}} d x

schneeman aktiv_icon

16:27 Uhr, 18.12.2010

Ok, jetzt hab ich aber doch noch eine frage: wie komm ich auf das ergebnis der stammfunktion?

{sin}^{- 1} \frac{x}{r}

??? ist

{sin}^{- 1} 1 = \frac{1}{2} \cdot π

Alx123 aktiv_icon

16:29 Uhr, 18.12.2010

Das kannst du mit folgender Sub. lösen:

x = r \cdot \sin (t)

und Ja.

schneeman aktiv_icon

17:08 Uhr, 18.12.2010

wie kommst du denn eigentlich auf das:

x = r \cdot sin (t)

? Könntest du mir das erklären? ich komm da gerade nicht weiter.... was ist

t

? und kannst du mir bitte zeigen(per rechenweg) wie du auf die stammfunktion kommst?

Alx123 aktiv_icon

17:34 Uhr, 18.12.2010

Es gibt für bestimmte Funktionstypen die dazupassenden Substitutionen ( siehe Formelsammlung u.s.w. ), du musst also nicht von alleine draufkommen. Die hierzupassende Substitution ist also:

x = r \cdot \sin (t)

es wird für die Variable

x

eine neue Funktion

r \cdot \sin (t)

mit der neuen Variablen

t

eingesetzt.

x

ist jetzt also eine Funktion die von

t

abhängt. Das geschieht natürlich nicht ohne Grund, es wird sich gleich zeigen das sich mit dieser Substitution die Wurzel eliminieren lässt. Jetzt muss ja auch noch das Differential angepasst werden, es gilt ( so wie bei normaler Substitution nur sind jetzt die Differentiale umgekehrt ):

x^{'} (t) = \frac{d x}{d t} = r \cdot \cos (t) \overset{}{\Leftrightarrow} d x = r \cdot \cos (t) d t

jetzt wird alles ins Integral eingesetzt ( den Vorfaktor

r

von oben lasse ich jetzt weg ):

\int \frac{1}{\sqrt{r^{2} - r^{2} \cdot \sin^{2} (t)}} \cdot r \cdot \cos (t) d t = \int \frac{1}{r \cdot \sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cdot r \cdot \cos (t) d t = \int \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cdot \cos (t) d t

= \int \frac{1}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cdot \cos (t) d t = \int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \cos (t) d t = \int 1 d t = t + c

Jetzt wird die Stammfunktion resubstituiert. Aus der Substitutionsgleichung folgt:

x = r \cdot \sin (t) \overset{}{\Leftrightarrow} \arcsin (\frac{x}{r}) = t

also lautet die Stammfunktion:

\arcsin (\frac{x}{r}) + c

schneeman aktiv_icon

17:55 Uhr, 18.12.2010

Oha! Der Rechenweg war jetzt aber doch ganz schön lang. Ganz ehrlich, da wär ich im Leben nicht alleine drauf gekommen! VIELEN VIELEN DANK!!! :-)

Jetzt hab ich's verstanden. Endlich!

schneeman aktiv_icon

17:55 Uhr, 18.12.2010

Oha! Der Rechenweg war jetzt aber doch ganz schön lang. Ganz ehrlich, da wär ich im Leben nicht alleine drauf gekommen! VIELEN VIELEN DANK!!! :-)

Jetzt hab ich's verstanden. Endlich!

LarsMcLuc aktiv_icon

15:46 Uhr, 20.01.2011

hi,

wir sitzten gerade vor dem selben problem, nur müssen wir zeigen warum wir mit

x = r \cdot s i n (t)

substituieren, und wir kommen leider nicht drauf

vielen dank für eure hilfe

lg

LarsMcLuc

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