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Ungleichung zwischen Produkt & Summe - Beweis

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Beweis, Körper, produkt, Summe, Ungleichung

Anonymer aktiv_icon

15:15 Uhr, 18.10.2014

Hallo liebes Mathe-Forum!

Ich bin Physik-Student und habe/hatte ein Problem mit einem Beweis, und zwar folgendem:

Seien

a_{1}, . . ., a_{n}

positive reelle Zahlen. Beweisen Sie:

\prod_{j = 1}^{n} (1 + a_{j}) \geq 1 + \sum_{j = 1}^{n} a_{j}

Ich hab das nun wie folgt gelöst und bin mir eben nicht sicher ob meine Methode mathematisch ganz korrekt ist bzw. als letztendlich bewiesen gilt. Also:

Aus den Körperaxiomen wissen wir, dass das Produkt zweier positiver reeller Zahlen >1 ebenfalls >1 ist, da 1*1=1.

Ich habe das Produkt dann einmal ausgeschrieben (und die ersten beiden Klammern gleich ausmultipliziert und alles nach diesen ersten beiden Klammern als

λ

bezeichnet ):

\prod_{j = 1}^{n} (1 + a_{j}) = (1 + a_{1} + a_{2} + a_{1} a_{2}) * λ

Dasselbe für die Summe (alles nach den ersten beiden Einträgen ist

γ

1 + \sum_{j = 1}^{n} a_{j} = 1 + a_{1} + a_{2} + γ

also die Aussage in anderer Form:

(1 + a_{1} + a_{2} + a_{1} a_{2}) * λ \geq 1 + a_{1} + a_{2} + γ

Naja, nun weiß ich ja gesichert dass

a_{1} a_{2} > 0

ist, dass

λ > 1

ist und dass

γ > 0

ist.

Ich habe links für die ersten beiden Einträge also "mehr" stehen als rechts und mein

λ > 1

, also verkleinert die Klammer nicht. Nun weiß ich aber auch dass

λ > γ

ist, weil ja dieselben Einträge vorkommen und

1 + a_{j} > a_{j}

Naja und das bedeutet ja schon, dass:

\prod_{j = 1}^{n} (1 + a_{j}) \geq 1 + \sum_{j = 1}^{n} a_{j}

gilt, weil ja

λ

schneller wächst als

γ

(weil ja

1 + a_{j} > a_{j}

) (Beweis Ende)

Tja nun meine Frage: Ist diese Methode "zulässig"? Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich nicht schon was vorausgesetzt habe, dass ich eigentlich erst beweisen muss bzw. ob dass was ich gemacht habe nicht eigentlich nur eine Umformung war.

Wenn meine Methodik nicht zulässig ist, wie kann ich diese Aussage dann beweisen? Mittels Induktion komme ich irgendwie auf keinen grünen Zweig. Ich wäre dankbar, wenn mir hier jemand helfen könnte!

Liebe Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

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anonymous

15:31 Uhr, 18.10.2014

Ehrlich gesagt, ich habe jetzt nicht alles bis zu Ende durch mitgedacht.
Ich ahne, dass du auf einem sehr guten Weg, aber ein wenig zu komplexem Weg bist.
Ich vermute, die Aufgabenstellung lässt sich ganz geschickt per vollständiger Induktion lösen.
Du beginnst schon in dieser Richtung, bringst dich oder mich nur mit diesen

γ,

delta-Faktoren / Summanden in Schwierigkeiten.
Vollständige Induktion zunächst mit dem Beispiel, zweier Glieder, das du ja auch schon so ähnlich formuliert hast:
Produkt

(1 + a_{1}) \cdot (1 + a_{2}) = 1 + a_{1} + a_{2} + a_{1} \cdot a_{2} \geq 1 +

(Summe)

a_{1} + a_{2} = 1 + a_{1} + a_{2}

a_{1} \cdot a_{2} \geq 0

Das heisst, das Eingangsbeispiel mit 2 Gliedern ist stimmig.

Tip: Vollständige Induktion jetzt einfach mit Schluss von

n

Gliedern auf

(n + 1)

Glieder...

Bummerang

17:00 Uhr, 18.10.2014

Hallo,

und Vorsicht! Hier steht keine Einschränkung für

n

und dass als Relationszeichen

\geq

statt

>

benutzt wurde, bestärkt mich in der Annahme, dass es auch in der Originalaufgabe keine Einschränkung für

n

gegeben hat. Dann allerdings darf man auch nicht so wie ihr mit

n = 2

beginnen, sondern man muss mit

n = 1

beginnen!

Anonymer aktiv_icon

17:43 Uhr, 18.10.2014

Aber ich habe ja mit j=1 begonnen... Ich hab nur das Produkt bzw. die Summe wie folgt umgeformt: (müsste doch stimmen?)

\prod_{j = 1}^{n} (1 + a_{j}) = (1 + a_{1} + a_{2} + a_{1} a_{2}) * λ

wobei

λ = \prod_{j = 3}^{n} (1 + a_{j})

Analog dazu die Summe:

1 + \sum_{j = 1}^{n} a_{j} = 1 + a_{1} + a_{2} + γ

wobei

γ = \sum_{j = 3}^{n} a_{j}

Danach habe ich geschlussfolgert, dass bis zum 2. Eintrag das Produkt gesichert größer als die Summe ist (durch das zusätzliche

a_{1} a_{2}

) und

λ

wächst ja schneller als

γ

, weil ja bei

λ

jedes mal dieses

(1 + a_{j})

vorkommt (ich multipliziere also mit einer Zahl

> 1

, also wächst der Wert ständig) und bei

γ

jedoch nur

a_{j}

weil der 1er vor der Summe steht. Und

1 + a_{j} > a_{j}

.

Und da mein Anfangswert für die ersten beiden Einträge beim Produkt gesichert größer als bei der Summe ist, bleibt er auch nach Multiplikation mit einer Zahl

> 1

größer. Wohingegen bei der Summe nur noch laufend Zahlen

> 0

addiert werden.

Und

a_{j}

ist auf beiden Seiten dasselbe, daher wächst das Produkt immer schneller als die Summe. Ich hoffe, das ist halbwegs verständlich formuliert.

Bummerang

23:58 Uhr, 18.10.2014

Hallo,

"Aber ich habe ja mit

j = 1

begonnen..."

Wer har etwas anderes behauptet? Du kannst doch lesen, oder? Dann kennst Du alle Buchstaben und erkennst sicherlich, dass "j" nicht der selbe Buchstabe wie "n" ist. Es ging vor allem um den Vorschlag von cositan, den Beweis mittels vollständiger Induktion zu führen. Dort schreibt cositan: "Vollständige Induktion zunächst mit dem Beispiel, zweier Glieder..." was bei mir als Vorschlag ankommt, den Induktionsanfang mit

n = 2

zu machen. Ich aber bin der Meinung, dass man den Induktionsanfang mit

n = 1

machen sollte!

Im übrigen solltest Du diesen Vorschlag mit der vollständigen Induktion ruhig mal durchdenken!

Bummerang

23:58 Uhr, 18.10.2014

Forumstypischer Doppelpost

anonymous

08:53 Uhr, 19.10.2014

Ich stimme zu.
Und die Stimmigkeit für

n = 1

ist ja sehr schnell sehr offensichtlich.

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