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Verdopplungszeit bei Exponentialfunktionen

Lehrer

Tags: Äquivalenzumformung, Exponentialfunktion, Halbwertszeit, verdopplungszeit, Wachstum

PiYouYou aktiv_icon

17:34 Uhr, 05.03.2024

Wir haben gerade das Thema Exponentialfunktionen der Form

f(x)=a*q^x mit a=Startwert und q=Wachstumsfaktor.

Es geht um die Frage: "Bei doppeltem Wachstumsfaktor halbiert sich die Verdopplungszeit".

Ich habe zwei Lösungen im Bild angehängt, die grüne Lösung ist meine eigene Lösung (die ich mit der Musterlösung des Buches erstellt habe) und die rote Lösung die der Schülerinnen.

Ich bin mir nicht sicher, ob die Schüler:innen diesen Ansatz wählen dürfen, da sie meiner Meinung nach die Gültigkeit der Gleichungen (*) und (**) voraussetzen. Es muss aber doch herausgefunden werden, für welches q diese beiden Gleichungen gelten, oder?

Ich bin mir aber diesbezüglich unsicher und freue mich über eure Hilfe.

Lieben Gruß
PiYouYou

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Exponentielles Wachstum und Zerfall

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pivot aktiv_icon

18:09 Uhr, 05.03.2024

Hallo,

ich sehe jetzt nicht direkt einen Fehler. Man muss eben nur auf die Definition der Exponentialfunktion achten:

y = q^{x}

mit

q > 0

und

q \neq 1

.

Dann steht bei der zweiten Vorgehensweise

q (q - 2) = 0

da. Es muss mindestens ein Faktor gleich 0 sein (Satz vom Nullprodukt).

q > 0

ist als Lösung per Definition ausgeschlossen. Somit bleibt nur die Gleichung

q - 2 = 0

.

Ich habe jetzt hier bei der Betrachtung den Faktor

a

weggelassen.

Gruß
pivot

Roman-22

18:40 Uhr, 05.03.2024

Ihr macht doch beide das gleiche!
Ihr setzt die Ausdrücke für den jeweils doppelten Funktionswert gleich, unter der Voraussetzung, dass die in der Angabe genannte Bedingung (doppelter Faktor und halbe Verdopplungszeit) gilt. Dann berechnet ihr beide daraus, für welche Angabegröße das der Fall ist.
Der Unterschied besteht nur darin, dass du mit deinem Ansatz auf

V

los steuerst und damit dein

q

berechnest, während die Schüler zunächst auf das

q

zielen und damit dann

V

berechnen.
Welcher der beiden Ansätze sinnvoller ist hängt davon ab, wie die konkrete Aufgabenstellung lautet. Ist dort konkret danach gefragt. für welche Verdopplungszeit die Aussage gilt, wäre dein Ansatz gefragt, ist aber nach dem speziellen Wachstumsfaktor gefragt, dann wäre der Ansatz der Schüler zielführender.

Generell stört mich hier viel mehr, dass für Zeiten die Bezeichner

x

und

V

gewählt wurden anstelle von

t

und zB

t_{V}

.
Vor allem aber ärgerlich, dass völlig auf Einheiten verzichtet wurde. Denn das

x

in der Gleichung muss ja, sowie auch das

q,

dimensionslos sein (sonst wäre

q^{x}

nicht definiert) und ist somit nie und nimmer einer Zeit - sollte daher auch nicht so genannt werden!

Eine saubere Variante die Aufgabe zu lösen wäre es auch, zwei Funktion

f_{1}

und

f_{2}

aufzustellen, wo der Unterschied nur darin besteht, dass die Basis bei

f_{2}

doppelt so groß ist wie bei

f_{1}

.
Dann von beiden die Verdopplungs'zeit' ermitteln und ins Verhältnis setzen.
Man erhält

\frac{t_{V_{1}}}{t_{V_{2}}} = 1 + \frac{ln 2}{ln q}

und wenn man möchte, dass dieses Verhältnis 2 ist, dann löst man die entsprechende Gleichung

\frac{ln 2}{ln q} = 1

eben nach

q = 2

auf, was ja mit einem Blick zu sehen ist.

KL700 aktiv_icon

07:00 Uhr, 06.03.2024

Beispiel Kapitalverdoppelung in Jahren:

q_{1} = 1,02, q_{2} = 2,04

{1,02}^{n} = 2

n = \frac{ln 2}{ln 1,02} = 35

{2,04}^{n} = 2

n = \frac{ln 2}{ln 2,04} = 0,97

So lese ich das, vermute aber, dass gemeint ist:

q_{1} = 1,02, q_{2} = 1,04

.

Dann käme raus

\frac{ln 2}{1,02} = 35

bzw.

\frac{ln 2}{ln 1,04} = 17,67,

was weniger als die Hälfte ist.
So gesehen stimmt die Behauptung nicht (ganz.

PiYouYou aktiv_icon

08:45 Uhr, 06.03.2024

Danke euch für eure Beiträge und die Diskussion. Das hilft mir schon sehr. Interessant finde ich, dass V Dimensionslos ist. Den Punkt nehme ich definitiv mit.

Danke euch!

Roman-22

09:54 Uhr, 06.03.2024

>

Interessant finde ich, dass

V

Dimensionslos ist.

V

hat die gleiche Dimension wie

x

und so wie du die Funktion angegeben hast, müss(t)en alle Größen (bis auf

a)

dimensionslos sein und keine physikalische Bedeutung haben.

Du könntest die Funktion aber auch als

f (t) := a \cdot q^{\frac{t}{[t]}}

angeben, wobei

[t]

eine Zeiteinheit ist. In dem Fall dürfte man das Funktionsargument

t

als Zeit bezeichnen und auch von einer Verdopplungszeit

t_{V} = \frac{ln 2}{ln q} [t]

sprechen.

Natürlich ist

q

dimensionslos, aber wesentlich von der hier gewählten Zeiteinheit abhängig.
So beschreiben zB

f_{1} (t) := a \cdot q_{1}^{\frac{t}{h}}

und

f_{2} (t) := a \cdot q_{2}^{\frac{t}{m i n}}

den gleichen Vorgang, wenn

q_{2} = \sqrt[60]{q_{1}}

ist.

@KL700

>

So gesehen stimmt die Behauptung nicht (ganz.
Ich denke, man darf das auch nicht als allgemeingültige Behauptung sehen, denn

i . a

. wäre diese natürlich falsch!
Leider wurde die exakte Aufgabenformulierung nicht genannt, aber es soll wohl genau jener Faktor

q

bestimmt werden, für den diese Aussage gilt.
Die Formulierung "Es geht um die Frage: "Bei doppeltem Wachstumsfaktor halbiert sich die Verdopplungszeit"." des Fragestellers war hier ziemlich irreführend - da gewinnt man tatsächlich den Eindruck, es würde sich um einen allgemein gültigen Zusammenhang handeln, der nachgewiesen werden soll.

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