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Volumenberechnung Rotationskörper / Torus

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Integral, Rotationskörper, Torus, Volumen

 
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juliiii

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15:22 Uhr, 19.11.2009

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Hallo!

Ich bin auf eine interessante Aufgabe gestossen wobei ich mir bei der Lösung nicht sicher bin.
gegeben ist ein Kreis mit dem radius r, dessen Mittelpunkt auf der y-Achse liegt und zwar bei y=a. Seine koos sind als (0|a)
dieser Kreis soll nun um die X-Achse rotieren und wird einen Torus ergeben.
Ich soll daraus mithilfe des Integrals die Allgemeine Volumenformel für den Torus ableiten.

Wir wissen ja das r2=x2+(y-a)2

Nun bin ich mir nicht sicher wie ich weitermachen sollte, ich habe mir gedacht das ich das ganze in 2 integrale zerlege, aber bei mir bleiben am Ende nur noch summen stehen aber das ist falsch.
mir würde auch einfach nur der Ansatz hier reichen, bis zur Aufstellung des Integrals ;-)
danke und schönen Tag noch!
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

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MBler07

MBler07 aktiv_icon

18:30 Uhr, 19.11.2009

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Hi

was dürft ihr denn benutzen? Die Formel für Rotationskörper (mit einem Integral)? Soll die Fläche des Kreises mit einem Integral berechnet werden?
Oder kannst du auch einfach A=πr2 nutzen?

Die Gleichung eines Kreises kannst du auch umformen zu
y=±r2-x2+a
Diese kannst du integrieren, um seine Fläche zu bekommen. Wird allerdings aufwendig.

Grüße
juliiii

juliiii aktiv_icon

19:29 Uhr, 19.11.2009

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ne die Fläche des Kreises soll cih nciht mit dem Integral errechnen, sondern das Volumen des Rotationskörpers ;-)

Das ist im Moment auch mein Problem, ich komm da leider nciht weiter :(
Antwort
MBler07

MBler07 aktiv_icon

20:07 Uhr, 19.11.2009

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1) In der Formel für Rotationskörper steckt die Fläche schon mit drin. Kannst's ja mal probieren. Die Formel für Rotationskörper lautet:
Vx=π⋅∫ab(f(x))2dx

In deinem Fall ist a=-r und b=r
Beachte, dass du das Volumen, welches vom unteren Teil des Kreises erzeugt wird von dem des oberen abziehen musst.

2) Ohne Integrale gäbs die Möglichkeit die Fläche des Kreises mit der zurückgelegten Strecke zu multiplizieren.

3) Wenn du unbedingt ein Integral anwenden willst, aber die Fläche schon berechnet hast, müsstest du die zurückgelegte Strecke integrieren. Also die Formel
s=∫ab1+(f'(x))2dx
nutzen.

4) Zu guter Letzt gibts noch die Möglichkeit sich auf Guldin zu beziehen und seine Formel anzuwenden:
V=2⋅π⋅d⋅A
d=Radius der Rotation
A=rotierende Fläche

Mehr fällt mir nicht ein. Die Aufgabe ist nicht so ganz präzise. M.M.n. sollst du den ersten Weg nutzen. Kannst dir aber auch einen anderen raussuchen.
Wenn du noch Fragen hast, sag mir für welchen Weg du dich entschieden hast.
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