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Woher weiss ich welche Ableitungsregel ich brauche

Schüler , 10. Klassenstufe

Tags: Ableitungsregeln

TheOne123 aktiv_icon

14:09 Uhr, 01.11.2014

Hallo,

Also ich nehme zur Zeit in der schule die Ableitungsregeln durch und veestehe dieses auch im Grunde aber ich manchmal Probleme zuerkennen welche aAbleitungsregel ich denn anwenden muss. Ich hab mich mal im Internet durchgeklickt aber nicht wirklich gefunden was meine Frage beantwortet. Also hoffe ich dass ich hier entsprechende Hilfe finde.
Mein Problem besteht eig größtenteils daraus dass ich oftmals nicht weiss ob ich die kettenregel oder produktregel anwenden muss.
Hier ist ein Beispiel dass ich anfangs falsch angegangen bin.

f (x) = x^{2} \cdot {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}

hier muss mal die produktregel benutzen hat mir mein Lehrer gesagt aber warum? Mal könnte doch eig auch die kettenregel benutzten.

Und bei dem Beispiel

f (x) = 3 \cdot {(4 x - 8)}^{\frac{1}{2}}

benutzt mal die kettenregel und mal bekommt das richtige Ergebnis raus. Aber warum? Mal könnte dochdeig auch die produktregel benutzen aber mal kommt dann nicht auf das richtige Ergebnis raus.

Wie erkenne ich also ob ich denn nun die produkt- oder kettenregel benutzen muss.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen ich hab die letzte Arbeit etwas verhauen und muss mir jetzt Gas geben.
Lg

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

15:17 Uhr, 01.11.2014

Produktregel? Immer dann, wenn du ein Produkt hast!

In diesem Fall hast du ein Produkt aus

x^{2}

und

{(2 - x)}^{\frac{1}{2}}

.

Zusätzlich hast du die Potenzen

x^{2}

und

{(2 - x)}^{\frac{1}{2}}

vorliegen. Daher kann die Potenzregel

f (x) = x^{r} \Rightarrow f' (x) = r \cdot x^{(r - 1)}

für beliebiges

r \in ℝ

verwenden.

Allerdings gilt diese Regel nur genau in dieser Form. Bei

x^{2}

hat man kein Problem. Das wird beim Ableiten zu

2 \cdot x^{2 - 1} = 2 \cdot x

.

Allerdings kann man die Potenzregel bei

{(2 - x)}^{\frac{1}{2}}

eben nicht direkt anwenden, da hier ein

(2 - x)

steht, bei der Potenzregel aber nur ein

x

. Nun die gute Nachricht: Zusammen mit der Kettenregel darf man die Potenzregel trotzdem benutzen. Man muss einfach das

(2 - x),

was statt dem

x

in der Potenzregel steht, nachdifferenzieren. Denn mit

g (x) = x^{\frac{1}{2}}

und

h (x) = 2 - x

ist:

(g \circ h) (x) = g (h (x)) = {(h (x))}^{\frac{1}{2}} = {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}

(g \circ h)' (x) = g' (h (x)) \cdot h' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(h (x))}^{- \frac{1}{2}} \cdot h' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(2 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 1)

Zu deiner Frage: " hier muss mal die produktregel benutzen hat mir mein Lehrer gesagt aber warum? Mal könnte doch eig auch die kettenregel benutzten."
Man braucht hier beides Produktregel und Kettenregel!

- -

"Und bei dem Beispiel

f (x) = 3 \cdot {(4 x - 8)}^{\frac{1}{2}}

benutzt mal die kettenregel und mal bekommt das richtige Ergebnis raus. Aber warum? Mal könnte dochdeig auch die produktregel benutzen aber mal kommt dann nicht auf das richtige Ergebnis raus."
(Warum schreibst du eigentlich die ganze Zeit "mal" statt "man"?)

Hier benutzt man die Kettenregel, da man die Potenzregel verwenden will, aber statt dem

x

in der Potezregel, der Ausdruck

(4 x - 8)

steht.
Die Produktregel kann man hier (zusätzlich) anwenden, da man ein Produkt aus 2 und

{(4 x - 8)}^{\frac{1}{2}}

vorliegen hat. Dann ist:

(2 \cdot {(4 x - 8)}^{\frac{1}{2}})'

= 2' \cdot {(4 x - 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot ({(4 x - 8)}^{\frac{1}{2}})'

= 0 \cdot {(4 x - 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot ({(4 x - 8)}^{\frac{1}{2}})'

= 0 + 2 \cdot ({(4 x - 8)}^{\frac{1}{2}})'

= 2 \cdot ({(4 x - 8)}^{\frac{1}{2}})'

Man hätte aber statt der Produktregel auch einfach die Faktorregel anwenden können, da 2 ein konstanter Faktor ist. Wie man sehen kann, ist die Faktorregel ein Spezielfall der Produktregel. Wie dem auch sei. Man muss immer noch den Teil

{(4 x - 8)}^{\frac{1}{2}}

ableiten. Und dafür ist die Kettenregel hilfreich!

- -

Man kann sich also merken:

Summen- bzw. Produktregel? Wenn man eine Summe bzw. ein Produkt vorliegen hat!

Kettenregel? Wenn man eine bekannte Ableitungsregel

f (x) \to f' (x)

verwenden will, aber statt dem

x

einen anderen Ausdruck

g (x)

stehen hat. Dann kann man die bekannte Ableitungsregel verwenden, muss das

g (x),

was statt dem

x

in der bekannten Regel steht, nachdifferezieren:

f (g (x)) \to f' (g (x)) \cdot g' (x)

- -

Ich mach mal ein Beispiel:

x^{\frac{1}{2}} \cdot {(2 + x^{3})}^{5}

Hier liegt zunächst ein Produkt aus

x^{\frac{1}{2}}

und

2 + x^{3}

vor. Nach Produktregel ist:

(x^{\frac{1}{2}} \cdot {(2 + x^{3})}^{5})' = (x^{\frac{1}{2}})' \cdot {(2 + x^{3})}^{5} + x^{\frac{1}{2}} \cdot ({(2 + x^{3})}^{5})'

Nach Potenzregel ist

(x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2}}

.
Bei

({(2 + x^{3})}^{2})'

steht statt dem

x

in der Potenzregel der Ausdruck

2 + x^{3},

welcher nachdifferenziert werden muss. Demenstprechend ist:

(x^{\frac{1}{2}} \cdot {(2 + x^{3})}^{5})' = ... = \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2}} \cdot {(2 + x^{3})}^{5} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 \cdot {(2 + x^{3})}^{4} \cdot (2 + x^{3})'

Nun ist

2 + x^{3}

eine Summe aus 2 und

x^{3}

. Deshalb folgt nach Summenregel, dass

(2 + x^{3})' = 2' + (x^{3})'

(x^{\frac{1}{2}} \cdot {(2 + x^{3})}^{5})' = ... = \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2}} \cdot {(2 + x^{3})}^{5} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 \cdot {(2 + x^{3})}^{4} \cdot (2' + (x^{3})')

Der Ausdruck 2 enthält kein

x,

daher wird dieser konstante Ausdruck beim Ableiten zu 0.
Und

x^{3}

wird beim Ableiten nach Potenzregel zu

3 \cdot x^{2}

(x^{\frac{1}{2}} \cdot {(2 + x^{3})}^{5})' = ... = \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2}} \cdot {(2 + x^{3})}^{5} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 5 \cdot {(2 + x^{3})}^{4} \cdot (0 + 3 \cdot x^{2})

TheOne123 aktiv_icon

16:24 Uhr, 01.11.2014

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Jetzt ist mir das schon etwas klarer. Würde ich bei dieser Aufgabe

f (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4}} \cdot (9 - x)

nun mit der produktregel arbeiten weil die

(9 - x)

keinen Exponentenh hat?

TheOne123 aktiv_icon

16:53 Uhr, 01.11.2014

Sry falsche Funktion. So lautet die richtige

f (x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} \cdot (9 - x)

anonymous

17:56 Uhr, 01.11.2014

Ja, da wird man wohl die Produktregel anwenden, da

\frac{1}{4} \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot (9 - x)

ein Produkt aus

\frac{1}{4} \cdot x^{\frac{1}{2}}

und

(9 - x)

ist. Dass

(9 - x)

keinen Exponenten hat, hat hier erst einmal recht wenig Einfluss darauf, ob man die Produktregel anwendet oder nicht. Das ändert hier nur etwas daran, wie man beim Ableiten mit dem Teil

(9 - x)

umgeht, also ob man bei diesem Teil die Potenzregel anwenden kann oder nicht.

f (x) = g (x) \cdot h (x)

f' (x) = g' (x) \cdot h (x) + g (x) \cdot h' (x)

mit

g (x) = \frac{1}{4} \cdot x^{\frac{1}{2}}

und

h (x) = 9 - x

Übrigens könnte man

(9 - x)

auch als

{(9 - x)}^{1}

schreiben, wenn man denn möchte. Dann hätte man einen Exponenten.

TheOne123 aktiv_icon

18:43 Uhr, 01.11.2014

Sehr gut danke! ich denke ich habe es nun verstanden.

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