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Zusammengesetzte Funktionen und ihre Ableitungen

Schüler

Tags: Ableitungsregeln, Differenzenfunktion, Funktion, produktfunktion, Quotientenfunktion, summenfunktion, Tangent, zusammengesetzt

DonCamillo aktiv_icon

18:28 Uhr, 20.10.2016

Hallo :-)

Gegeben sind die Funktionen

f : x \to x^{3} + x^{2} - 4 x - 4

g : x \to x - 2

a)

Geben Sie die zusammengesetzten Funktionen

f + g, f - g, f \cdot g

und

\frac{f}{g}

an.

b)

Berechnen Sie die Funktionswerte an den angegebenen Stellen:

(f + g) (0)

(f - g) (1)

(f \cdot g) (\frac{1}{2})

(\frac{f}{g}) (- 1)

c)

Berechnen Sie unter Verwendung der Ableitungsregeln (gegebenfalls nach vorheriger Vereinfachung)

(f + g)', (f - g)', (f \cdot g)'

und

(\frac{f}{g})'

d)

Welche Steigung hat die Tangente
- bei der Summenfunktion

f + g

an der Stelle

x_{0} = 1

?
- bei der Differenzfunktion

f - g

an der Stelle

x_{0} = 0

?
- bei der Produktfunktion

f \cdot g

an der Stelle

x_{0} = - 1

?
- bei der Quotientenfunktion

\frac{f}{g}

an der Stelle

x_{0} = 3

?

Meine Lösung:

a)

f + g = (x^{3} + x^{2} - 4 x - 4) + (x - 2) = x^{3} + x^{2} - 3 x - 6

f - g = (x^{3} + x^{2} - 4 x - 4) - (x - 2) = x^{3} + x^{2} - 5 x - 2

f \cdot g = (x^{3} + x^{2} - 4 x - 4) \cdot (x - 2) = x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} - 4 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x + 8 = x^{4} - x^{3} - 6 x^{2} + 4 x + 8

\frac{f}{g =} (x^{3} + x^{2} - 4 x - 4) : (x - 2) = x^{2} + 3 x + 2

(Leider weiß ich nicht, wie man eine Polynomdivision hier eingeben kann, ohne dass alles verschoben ist. Deswegen werde ich ein Foto davon hochladen).

b)

(f + g) (0) = {(0)}^{3} + {(0)}^{2} - 3 (0) - 6 = - 6

(f - g) (1) = {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 5 (1) - 2 = - 5

(f \cdot g) (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{4} - {(\frac{1}{2})}^{3} - 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 4 (\frac{1}{2}) + 8 = \frac{1}{16} - \frac{1}{8} - 1 \frac{1}{2} + 2 + 8 = \frac{1}{16} - \frac{2}{16} - \frac{24}{16} + \frac{32}{16} + \frac{128}{16} = \frac{135}{16} = 8 \frac{7}{16}

(\frac{f}{g}) (- 1) = {(- 1)}^{2} + 3 (- 1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0

c)

(f + g)' = 3 x^{2} + 2 x - 3

(f - g)' = 3 x^{2} + 2 x - 5

(f \cdot g)' = 4 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 4

(\frac{f}{g})' = 2 x + 3

d)

(f + g)' (1) = 3 {(1)}^{2} + 2 (1) - 3 = 3 + 2 - 3 = 2

(f - g)' (0) = 3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 5 = - 5

(f \cdot g)' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} - 12 (- 1) + 4 = - 4 - 3 + 12 + 4 = 9

(\frac{f}{g})' (3) = 2 (3) + 3 = 9

Hoffe jemand kann sich die Aufgaben mal angucken und sagen, ob ich was falsch gemacht habe.

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

22:22 Uhr, 20.10.2016

Hallo
ich sehe keinen Fehler
Allerdings müsste man sagen

\frac{f}{g}

ist für

x = 2

nicht definiert, aber sonst dein Ausdruck.
Gruß ledum

DonCamillo aktiv_icon

13:57 Uhr, 21.10.2016

Vielen Dank :-)

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