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aufgaben zu integral- und stammfunktionen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Integral, Integralfunktion, Stammfunktion

anonymous

21:18 Uhr, 14.01.2011

hallo leute! ich muss eine klausur nachschreiben und versteh die integralfunktionen überhaupt nicht..wollte daher fragen ob ihr mir bei meinem übungsblatt helfen könntet, denn da fehlt bei mir der durchblick, und ob ihr gucken könntet ob ich was richtig hab, wenn ich mal zu nem ergebnis gekommen bin...

also aufgabe 1:
gegeben:

F (x) = - 3 x^{2} - 2 x + 1

mit

x \in ℝ

a)

schreiben sie die funktion

F

als integralfunktion-mehrere möglichkeiten.
-ich habs versucht und dabei kam das raus (höchstwahrscheinlich falsch): I_a (x)

= \int_{a}^{x} (- 3 x^{2} - 2 x + 1)

dann hab ich da a und

x

eingesetzt, und bin auf

x^{3} - x^{2} - x + a^{2} - a

gekommen, aber das scheint mir doch sehr falsch zu sein, und außerdem hätte ich ja nur eine möglichkeit...?

- - - - - -

b)

für welches

C \in ℝ

lässt sich die funktion

F_{C} (x) = - 3 x^{2} - 2 x + C

mit

x \in ℝ

auf genau eine art als integralfunktion schreiben?
-tja, gute frage.

nr2:
gegeben:

f (x) = 8 x

mit

x \in ℝ

a)

bestimmen sie die integralfunktion

F_{a}

f

mit

a \in ℝ!

-da hab ich die formulierung nicht so wirklich verstanden, was meint der mit "zu f"? naja, hab da
I_a

(x) = \int_{a}^{x} 8 x = 4 x^{2} - 4 a^{2}

- - - - - -

b)

bestimmen sie die stammfunktion zu

f!

-ergebnis:

F (x) = 4 x^{2} + c

- - - - - -

c)

welche beziehung besteht zwischen der menge

M_{1}

der stammfunktion und der menge

M_{2}

der integralfunktion zu f?
-versteh ich nicht so wirklich

= S

nr 3:

a)

schreiben sie-falls dies möglich ist- die funktion

H (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 6 x + 32

mit

x \in ℝ

als integralfunktion!
-hier hab ich es aufgeben weil ich eh zu keiner richtigen integralfunktion komme juhu

= S

- - - - - -

b)

gegeben ist

f (x) = 3 x^{2} - 12 x

mit

x \in ℝ

. geben sie die menge aller stammfunktionen von

f

[

sind doch unendlich viele oder? stammfunktion wäre ja

F (x) = x^{3} - 6 x^{2} + c

und

c

kann alles mögliche sein

]

und bestimmen sie die gleichung der stammfunktionen, deren graph durch den punkt

P (- 1 | - 5)

geht!

[

meine gleichung:

c = 12 : F (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12]

welche der stammfunktionen hat ihr minimum auf der x-achse?
-da weiß ich nicht wie ich das machen soll..

das wärs fürs erste..würde mich sehr seeeehr auf eure hilfe freuen! und ich hoffe ihr rennt gleich nicht gegen die wand weil die fragen so dumm sind^^

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Integralfunktion
Stammfunktion
ln-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

22:17 Uhr, 14.01.2011

Prüfe, ob es sich bei der in der Aufgabe genannten Funktion um eine Funktionsrate handelt, also klein

f,

oder um einen Bestand

F .

Wenn es nämlich eine Bestandsfunktion ist, ist die Funktion ja schon integriert. (Natürlich lässt sich diese zumindest hier auch noch intergrieren, weil die Aufgabe ja ohne Sachbezug formuliert ist).

anonymous

22:21 Uhr, 14.01.2011

nee nee, die hab ich schon richtig abgeschrieben, alles was groß

F

ist, ist auch so als stammfunktion gemeint, und die, die klein sind, sind logischerweise auch als klein

f

gemeint... :-)

anonymous

22:40 Uhr, 14.01.2011

Ok, dann ergibt sich ein anderer Zusammenhang.

Die Integralfunktion

F (x)

lautet:

F (x) = {[- 3 \cdot x^{2} - 2 \cdot x + 1]}_{a}^{x} = (- 3 \cdot x^{2} - 2 \cdot x + 1) - (- 3 \cdot a^{2} - 2 \cdot a + 1)

= - 3 \cdot x^{2} - 2 \cdot x + 3 \cdot a^{2} + 2 \cdot a - 1 + 1

= - 3 \cdot x^{2} - 2 \cdot x + 3 \cdot a^{2} + 2 \cdot a

Sind a und

x

bekannt, so kannst du die gesuchte Fläche bestimmen.
Ich muss sagen, dass aus der Aufgabenstellung mehrere Interpretationsansätze hervorgehen. Du hast von der Bestandsfunktion das Integral gebildet. Das habe ich zunächst auch. Doch damit scheibt man nicht die gegebene Funktion

F

als Integralfunktion, sondern bildet von ihre das Integral.

anonymous

23:41 Uhr, 14.01.2011

hä also ist jetzt

F (x)

stammfunktion UND integralfunktion??? und das war jetzt zu aufgabe

1 a)

oder?

anonymous

16:30 Uhr, 15.01.2011

Ja, das war jetzt zu Aufgabe

1 a) .

In der Aufgabe steht, dass man die Integralfunktion von

F (x)

aufstellen soll.
Das heißt, dass nicht die Stammfunktion, also das unbestimmte Integral berechnet werden soll, sondern das

F (x)

Stammfunktion ist und mit ihr die Integralfunktion aufgestellt werden muss.

anonymous

16:30 Uhr, 15.01.2011

Ja, das war jetzt zu Aufgabe

1 a) .

In der Aufgabe steht, dass man die Integralfunktion von

F (x)

aufstellen soll.
Das heißt, dass nicht die Stammfunktion, also das unbestimmte Integral berechnet werden soll, sondern das

F (x)

Stammfunktion ist und mit ihr die Integralfunktion aufgestellt werden muss.

anonymous

16:46 Uhr, 15.01.2011

okay...danke erstmal:-)
aber so ganz glücklich bin ich immernoch nicht damit, da steht ja was von mehreren möglichkeiten..

kann denn sonst keiner bei den anderen aufgaben helfen??? bitte bitteeeee

anonymous

17:18 Uhr, 15.01.2011

Einfach integrieren , jedes unbestimmte Integral hat eine Konstante

C,

die die unendlich vielen Möglichkeiten der Stammfunktionen beschreibt , je nachdem wie man
dann

C

wählt .

anonymous

18:07 Uhr, 15.01.2011

okay aber ich bräuchte immer noch die anderen aufgaben...

anonymous

20:35 Uhr, 15.01.2011

Aufgaben

2 a

und

2 b

sind richtig.
zu

2 c)

Naja, wie viele Mengen hat die Stammfunktion? Wie viele Mengen besitzt die Integralfunktion (hier berechnest du doch ein konkretes Integral!). Welcher Zusammenhang besteht?

3 a)

wie würdest du hier vorgehen?

3 b)

erster Teil richtig. Es gibt unendlich viele Stammfunktionen zu

f (x),

weil

C

beliebig ist.
zweiter Teil: Die Frage, die doch hinter dem Arbeitsauftrag steckt, lautet: Wie muss ich

C

wählen, damit

F (- 1) = - 5

ist.

- 5 = {(- 1)}^{3} - 6 \cdot {(- 1)}^{2} + C

\Leftrightarrow C = 2

F (x) = x^{3} - 6 \cdot x^{2} + 2

ist Stammfunktion zu

f (x)

und erfüllt die Bedingung

P_{1} (- 1 | - 5) .

dritter Teil:

Um zu prüfen, für welche Stelle ein Extrempunkt auf der x-Achse vorliegt, musst du die erste Ableitung bilden.

F' (x) = f (x) = 0

\Leftrightarrow x_{1} = 0 \lor x_{2} = 4

. Über Vorzeichenwechsel von

f (x)

musst du prüfen, ob es sich um ein Minimum oder Maximum handelt. Da bei

F (0)

ein Maximum vorliegt, aber ein Minimum gesucht ist, ist

x_{2} = 4

relevant.
Zu lösen ist also die Gleichung:

0 = 4^{3} - 6 \cdot 4^{2} + C \Leftrightarrow C = 32

Die Stammfunktion

F (x) = x^{3} - 6 \cdot x^{2} + 32

hat ein Minimum auf der x-Achse bei

x = 4 .

Gib deine Lösungen auch in Funktionsplotter ein, dann siehst du, ob deine Lösung sinnvoll ist.
In der Zeichnung gehört der Graph von

f (x)

zum zweiten Aufgabenteil und

g (x)

zum letzten Teil (gepunktet).

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

anonymous

14:30 Uhr, 16.01.2011

wow, super vielen dank für die ganze mühe!!! :-)

3 a

hab ich jetzt mal versucht und hab da I_a(x)=

{[- \frac{1}{2} x^{2} + 6 x + 32]}_{a}^{b} = - \frac{1}{2} x^{2} + 6 x + \frac{1}{2} a^{2} - 6 a

raus. ist das richtig?
beim zweiten teil von

3 b

hatte ich mich dummerweise verrechnet und bei

- 5

das negative vorzeichen vergessen.. :-D)
und die dritte aufgabe hab ich selber noch mal versucht und es eeeendlich verstanden!!!
ach und das mit der beziehung zwischen der menge1 und menge2... wäre das von wegen dass die eine tausend möglichkeiten hat und die andere einfach nur eine menge hat oder wie? ich versteh den zusammenhang da einfach immer noch nicht

= S

ich hätte da noch ne aufgabe wofür ich wieder einen ansatz brauch weil ich auch nicht weiß wie das gehen soll..
die menge aller stammfunktionen zu einer bestimmten funktion

f

sei gegeben durch:

{F_{C} (x) | F_{C} (x) = 3 x^{4} + C}

(hier verwirrt mich die schreibweise...wieso steht das hier so komisch?)

a)

geben sie die menge aller integralfunktionen von

f

zuerst mit dem integralzeichen und dann in integralfreier schreibweise an

b)

für welche werte von

C

ist eine stammfunktion von

f

zugleich auch eine integralfunktion von f?

uuuuund:
gegeben ist die funktion

F (x) = 3 x^{2} + 4 x - 4

a)screiben sie

F

als integralfunktion mit geeigneter unterer integrationsgrenze (zwei lösungen)

b)

für welche

C

lässt sich die funktion

F_{C} (x) = 3 x^{2} + 4 x + C

NICHT als integralfunktion schreiben?

anonymous

18:57 Uhr, 16.01.2011

Deine Lösung zu

3 a)

ist richtig.
zu

3 b)

. Ja! Es gibt, wie du ja weißt, zu einer stetigen Funktion

f (x)

unendlich viele Stammfunktionen, weil beim Ableitung von

F (x)

die Konstante wegfällt. Bei einer Integralfunktion (hier hat man konkrete Intervallsgrenzen) gibt es eine konkrete Funktion. Die Menge der Integralfunktion ist also Teil der Menge der Stammfunktion.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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