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e-funktion Pest - Mathe-Abi

Schüler Gymnasium,

Tags: Abitur, Analysis, e-Funktion, Integral

Alex- aktiv_icon

11:01 Uhr, 16.06.2016

Hi,
Ich sitze seit einigen Tagen an meiner Mathe-Aufgabe für meine mündliche Prüfung und komme bei zwei Aufgaben überhaupt nicht weiter. Eine davon ist diese hier:
Es geht um um die Pest die im Mittelalter in einem Dorf mit ca

300

Einwohnern ausgebrochen sein soll.
Gegeben ist sind mir die ersten beiden Monate nach Ausbruch der Epidemie

(t)

und die Anzahl der Toten in diesen Monaten:
März

(t = 0) 0

Tote
April

(t = 1) 41

Tote
Mai

(t = 2) 71

Tote
Die Funktion um die es geht, die die Sterberate näherungsweise gut beschreibt, lautet:

f (t) = 48

t

e^{- 0,15 t}

Nun ist die Aufgabe bei der ich am verzweifeln bin: "Ermitteln Sie - ggf. näherungsweise - wie viele Tote die Epidemie insgesamt fordert und zu welchem Zeitpunkt sie als beendet betrachtet werden kann."
Für alle Toten habe ich partiell integriert und mit einem Integral von 0 bis ∞ gerechnet (Rechnungen werde ich später dazu schreiben, dauert ne Zeit lang das alles abzutippen).
Jedenfalls kam ich dann auf

2134

Tote (ca.). Was mich erstmal verwirrt weil es ja nur

300

Einwohner geben soll.
Meine eigentliche Frage ist aber, wie ich nun den Zeitpunkt bestimmen kann?
Umformen funktioniert meiner Meinung nach nicht, weil

t

ja in beiden Einzelfunktionen steht und dort einmal im Exponenten und einmal unten.
Wie kriege ich also nun den Zeitpunkt für die

2134

Tote raus? Oder liege ich ganz falsch und ihr hättet das komplett anders gemacht?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

willyengland aktiv_icon

11:25 Uhr, 16.06.2016

Die Funktion nähert sich ja asymptotisch der x-Achse an.
Man muss also irgendwie abschätzen wo man sagt, es ist vorbei.
Dafür gibt es keine festen Kriterien.
Man muss sich was Plausibles überlegen.
Also

z . B

. wenn es weniger als einen Toten pro Monat gibt.
Oder so in dem Dreh. Das musst du entsprechend begründen.

Alex- aktiv_icon

11:40 Uhr, 16.06.2016

Okay ja danke das macht Sinn. Hätte nicht gedacht, dass es dann doch so simpel ist :-)

Edddi aktiv_icon

11:49 Uhr, 16.06.2016

. .

. Trotzdem sind bei dieser Sterberate nach dem 4. Monat alle weggestorben und es wurde noch nicht mal das Maximum erreicht.

Denn es ist:

\sum_{0}^{4} (48 \cdot x \cdot e^{- \frac{3}{20} \cdot x}) = 0 + 41 + 71 + 91 + 105 = 308

Sicher, dass es nur

300

und nicht

3000

Einwohner waren?

;-)

Alex- aktiv_icon

12:05 Uhr, 16.06.2016

Ganz sicher. Habs hier vor mir.

300

Einwohner. Das verstehe ich aber auch nicht

ledum aktiv_icon

12:36 Uhr, 16.06.2016

Hallo
Wenn das eine mündliche Prüfung ist musst du dich kritisch mit dem Modell auseinandersetzen.
1. Feststellung: die fkt gibt für

t = 1

und

t = 2

die richtigen Wert.
2. Feststellung: sie muß bei

300

Einwohnern schon bei

t = 4

falsch sein (siehe Eddis Rechnung.
3. Feststellung: falls das Modell stimmt ist die Epidemie zwischen dem 3ten und 4 ten Monat beendet, da alle tot sind

statt der Summe von Eddie kannst du natürlich auch von 0 bis 3 und 0 bis 4 integrieren.

weiter Feststellung:

max

von

f

bestimmen und sagen falls das Dorf größer wäre hätte die Epidemie ihren Höhepunkt bei

t = . .

. erreicht und würde dann abklingen , was ja aber nicht eintritt..

Wahrscheinlich wollen die von dir wissen, dass du Modelle auch kritisch betrachtest!

Gruß ledum

Matheboss aktiv_icon

12:36 Uhr, 16.06.2016

Das heißt, es müssen 8 Leute hinzuziehen, damit das Dorf leer ist!

Edddi aktiv_icon

12:37 Uhr, 16.06.2016

. .

. dann mach's doch streng nach Text:

48 \cdot \int_{1}^{t} x \cdot e^{- \frac{3}{20} \cdot x} d x = 300

\int_{1}^{t} x \cdot e^{- \frac{3}{20} \cdot x} d x = \frac{300}{48}

- \frac{20}{9} \cdot {[(3 \cdot x + 20) \cdot e^{- \frac{3}{20} \cdot x}]}_{1}^{t} = \frac{300}{48}

{[(3 \cdot x + 20) \cdot e^{- \frac{3}{20} \cdot x}]}_{1}^{t} = - \frac{45}{16}

(3 \cdot t + 20) \cdot e^{- \frac{3}{20} \cdot t} - (3 \cdot 1 + 20) \cdot e^{- \frac{3}{20} \cdot 1} = - \frac{45}{16}

(3 \cdot t + 20) \cdot e^{- \frac{3}{20} \cdot t} \approx 17

Musst dann zwar mit Näherungsformeln ran und erhälst

\approx 4,55

Das hier mehr rauskommen, als mit der Summe ist klar, da die Summe ja eine Untersumme ist.

Also fährst du mit der Summe besser:

Die ersten 3 Monate gehen also, wie man mit der Summe zeigen kann ca.

203

Leutchen hinüber.

Bleiben noch

97

über, welche aber bei einer Sterberate von 105/Monat im 4. Monat auch noch vor erreichen des Monatsendes hinüber sind.

Also nach ca. 3 Monaten und

28

Tagen ist dann alles hops!

;-)

willyengland aktiv_icon

12:39 Uhr, 16.06.2016

Wenn es um die mündliche Prüfung geht, würde ich vorher sicherheitshalber beim Lehrer noch mal nachfragen.

Alex- aktiv_icon

13:18 Uhr, 16.06.2016

@ledum
danke das ist mir noch gar nicht in den Sinn gekommen, werde ich tun! :-)

@edddi
danke für deine Mühe den Ansatz werde ich auch mit einbringen :-)

@willyengland
leider darf ich bis zu der Prüfung nicht mit ihm reden :-)

pwmeyer aktiv_icon

13:53 Uhr, 16.06.2016

Hallo,

ich frage nur aus Interesse: Verstehe ich das richtig, Du hast ein mündliche Prüfung und erhältst die Fragen mehrere Tage vorher?

Gruß pwm

Alex- aktiv_icon

14:13 Uhr, 16.06.2016

Genau, ich habe 2 Woche vor Prüfungstermin meine Aufgaben bekommen. In der Prüfung habe ich dann 15min Zeit meine Ergebnisse vorzustellen. Danach muss ich 15min Fragen der Prüfer beantworten, die aber auch über die Prüfungsaufgaben an sich hinausgehen. Der zweite Teil geht stärker in die Bewertung ein als der erste.

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