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grenzwerte von funktionen, zusammengesetzte f.

Schüler Sonstige, 11. Klassenstufe

Tags: Asymptote, Grenzwert, h-methode

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14:38 Uhr, 02.04.2012

Also liebe Leute!

Ich weiß zwar, dass es hier so ist, dass man seine eigenen Ideen einbringen soll. Leider war ich jetzt über einen Monat lang krank (schwere Bronchitis) und habe keine Ideen - brauche jedoch dringend drei Aufgaben, die ich vor Ostern abgeben muss. Über Ostern würde ich mit mit diesen beschäftigen. Wer Zeit, Lust und Mitleid hat, kann die Aufgaben vollständig berechnen, ich bin momentan mental wirklich nicht
in der Lage zum Rechnen oder logischem Denken. Also vorab vielen Dank an den/diejenige(n), der/die sich meiner erbarmt.

Hier die Aufgaben:

1.Grenzwerte von Funktionen

Gegeben sind die Funktionen

f: x -> 3/ x-2
g: x -> 1 / x² - 9
h: x -> 2 + 1/2

Folgende Aufgabenstellungen sind für f, g und h zu berechnen:

a) Bestimmten sie den maximalen Definitionsbereich der Funktionen.
b) Wie verhält sich die Funktion für x -> (unendlich) und x -> - (unendlich)
Geben Sie die beiden Grenzwerte für x -> (unend.) und für x -> - (unend.) und die Gleichung der Asymptote g an, der sich die Funktion annähert.
c) Wie verhält sich die Funktion an ihrer Definitionslücke / an ihren Definitionslücken? Geben Sie - falls vorhanden - die Gleichungen der senkrechten Asymptoten an den Polstellen an.
d) Skizzieren sie den Funktionsverlauf im Koordinatensystem.

2. Zusammengesetzt Funktionen und ihre Ableitungen

Gegeben sind die Funktionen

f: x -> x³ + x² - 4x - 4
g: x -> x - 2

a) Geben sie die zusammengesetzten Funktionen f + g, f - g, f * g und f/g an.
b)Berechnen sie die Funktionswerte an den angegeben Stellen:
(f + g)(0)
(f - g)(1)
(f * g)(1/2)
(f/g)(- 1)
c) Berechnen sie unter Verwendung der Ableitungsregeln - gegebenfalls nach vorheriger Vereinfachung.

(f+g)', (f-g)'. (f*g)' sowie (f/g)'

d) Welche Steigung hat die Tangente

- bei der Summenfunktion f + g an der Stelle x0 = 1?
- bei der Differenzfunktion f - g an der Stelle x0 = 0?
- bei der Produktfunktion f * g an der Stelle x0 = -1?
- bei der Quotientenfunktion f/g an der Stelle x0 = 3?

3. Differenzierbarkeit / Bestimmung der Ableitung mit der Hilfe der Definition

Gegegeben sind die Funktionen
f: x -> x³ - x² mit x € R
g: x -> x² + 4x mit x € R
h: x -> -x² - 4x - 2 für x < -1, x € R
ebenfalls zu h:0,5x + 1,5 für x > -1, x € R

a) Berechnen sie die Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 mit Hilfe der Grenzwertberechnung mit der x-> x0-Methode.
b) Berechnen sie Ableitung der Funktion g an der Stelle x0 mit Hilfe der Grenzwertberechnung mit der h-Methode, d.h. für h -> 0.
c) Zeigen sie, dass die Funktion h an der Stelle x0 = -1 nicht differenzierbar ist, indem sie den links- und rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle x0 = -1 berechnen und diesen vergleichen.

Alos, jeder der mir helfen möchte... VIELEN DANK!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Asymptote (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Berechnung einer schiefen Asymptote

Wie bestimmt man eine schiefe Asymptote einer Funktion?

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

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Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

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14:53 Uhr, 02.04.2012

Worin genau siehst du jetzt den Sinn, wenn dir einer hier alles vorrechnet? Du kriegst dann vielleicht für diese Hausaufgabe eine gute Benotung, aber spätestens in der Klausur musst du es ja sowieso selbst können. So eine Krankheit ist natürlich immer ärgerlich, aber dir bleibt letztlich nichts anderes übrig als den Stoff nachzuholen. Wenn dir das arg schwer fällt, kannst du ja auch darüber nachdenken professionelle Mathenachhilfe zu nehmen. Und wenn du es trotzallem nicht schaffst den Stoff nachzuholen, so musst du halt diesen Jahrgang wiederholen. Klar ist das ärgerlich, aber leider kann man da nichts gegen machen. Du wirst den Stoff ja nicht sofort verstehen, wenn dir hier nur einer alles vorrechnet. Dafür muss man sich halt schon selbst bemühen bis es "Klick" macht. Und bei gezielten Fragen wird dir hier dann bestimmt geholfen.

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16:05 Uhr, 02.04.2012

ok, ich werde dann einfach die aufgaben bearbeiten so gut wie ich es vermag. nützt ja nichts, hast auch recht. lasst mir etwas zeit, dann setze ich die heute abend mal rein - ich versuche einfach das zu bearbeiten, was ich vielleicht mit etwas anstrengung kann.

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16:08 Uhr, 02.04.2012

Das kannst du gerne machen. Du wirst dich zunächst aber wohl oder übel etwas mit dem Stoff auseinandersetzen müssen, wenn bisher noch nicht geschehen. Denn du musst ja erstmal die Definitionen usw. verinnerlichen.

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22:18 Uhr, 02.04.2012

Ok, ich habe mich bis jetzt eben rangesetzt und ein paar Sachen gelesen und versucht einigermaßen einzusetzen. Alle 3 Aufgaben konnte ich nicht machen, habe sie einfach nicht versttanden. Aber ein bißchen was habe ich versucht...

1. zu f: x -> 3/x-2

a) D = R
b)lim f(x) = - 2 (das gleiche für x -> - unend)
x -> + unend
Also: der grenzwert, dem sich die funktion annähert ist -2.
die funktion hat 2 gradlinige asymptoten, eine waagerechte bei y = -2 und eine senkrechte bei x = 0.
c)formt man die funktion um, so wird der nenner 0, daher = nicht definiert
d)weiß nicht wie man zeichnungen hier hochlädt

zu g: x-> 1/x² - 9

a) D(f) = R+
b) lim f(x) = -9 (F. ist um -9 vers., daher nähert sie sich nicht 0 sondern -9 an)
x -> + unend.
die funktion hat 2 gradlinige asymptoten, eine waagerechte bei y = -9 und eine senkrechte bei x=0.
c)1/x² - 9 = 1/x² - 9/x² = -9x² + 1/x² - bei x=0 eine definitionslücke
d) das selbe spiel

zu h: 2+ 1/x (keine ahnung, da bräuchte ich rechnung + lösung)

2)a) f + g:
x³ + x² - 4x -4 + x - 2 = x³ + x² - 3x - 6

f - g:
x³ + x² - 4x - 4 - (x - 2) = x³ + x² - 4x - 4 + (-x)+ 2 = x³ + x² - 5x - 2

f*g:
(x³ + x² - 4x - 4) * (x - 2) = zu langer rechenweg, um ihn aufzuschreiben, aber das ergebnis ist: x^4 - x³ - 6x² - 2x + 8

f/g :
x³ + x² - 4x - 4 / x - 2 = polynomdivions durchgeführt, ergebnis: x² + 3x + 2

b) (f + g)(0) = -6, da alle x entfallen
(f - g)(1) = -5
(f * g)(1/2) = 87/16
(f / g)(-1) = -2 (-1-3+2)

c) (f + g)' = x³ + x² - 3x - 6 -> 3x² + 2x - 3
(f - g)' = x³ + x² - 5x - 2 -> 3x² + 2x - 5
(f * g)' = x^4 - x³ - 6x² - 2x + 8 -> 4x³ - 3x² - 12x - 2
(f / g)' = x² + 3x + 2 -> 2x + 3

d)da die erste ableitung einer funktion die steiung der tangente in einem bestimmten punkt angibt, setzt man einfach die x-werte in die vorher errechneten ableitungen ein, also:

(f + g)'(1) = 2, (f - g)'(0)= - 5, (f * g)'(-1) = 3, (f / g)'(3) = 9

3. dazu habe ich leider kaum material, bzw so wenig, dass es nicht ausreicht um die aufgabe zu lösen

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22:33 Uhr, 02.04.2012

Schön, dass du dir Zeit genommen hast. Und klar dass du an einem Tag nicht den Stoff aus einem Monat aufholen kannst. Etwas Geduld musst du an den Tag bringen.
1. Hier muss ich zuerst fragen wie die Funktion denn überhaupt aussehen soll. Ist

f : x \mapsto \frac{3}{x} - 2

gemeint oder

f : x \mapsto \frac{3}{x - 2}

Das wirkt sich natürlich auf die weiteren Rechnungen aus. Du solltest dir durchlesen wie man Formeln hier richtig schreibt, um eine bessere Verständigung zu ermöglichen:
http//www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf
Aufgrund deiner Antworten nehme ich

\frac{3}{x} - 2

an. Bei dem Definitionsbereich muss man hier nur beachten, dass man nicht durch null dividieren darf. Daher muss man die null ausschließen und es ergibt sich

D = ℝ \ {0}

. Du hast hier also vergessen die null auszuschließen.

b)

und

c)

hast du richtig, wobei du die Antwort für

c)

schon bei

b)

geschrieben hast. Da musst du also nur schreiben, dass

f

bei

x = 0

eine Polstelle hat.
Skizze kannst du zum Beispiel hier erstellen lassen: funktion.onlinemathe.de
Und wenn du im Antwortfenster runterscrollst erscheint doch "3.Bilder hinzufügen".
Soweit erstmal sonst wird es zu viel auf einmal.
Hast du soweit alles verstanden oder gibt es noch Fragen zu dieser Aufgabe?
Und noch was allgemeines: Du solltest vom Experten-Modus in den Text-Modus wechseln, denn da ist es einfacher Formeln zu schreiben. Den passenden Link hab ich ja oben schon angegeben.

blutspender aktiv_icon

23:28 Uhr, 02.04.2012

ok, an die erste aufgabe setze ich mich morgen, habe da so einige fehler gemacht. ist denn die zweite aufgabe richtig?

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08:49 Uhr, 03.04.2012

Bei

2 a)

sind

f + g

und

f - g

richtig. Aber bei

f \cdot g

muss es so aussehen:

(x^{3} + x^{2} - 4 x - 4) \cdot (x - 2) = x^{4} - 2 x^{3} + x^{3} - 2 x^{2} - 4 x^{2} + 8 x - 4 x + 8 = x^{4} - x^{3} - 6 x^{2} + 4 x + 8

Da hast du dich wohl verrechnet.
Dein Polynomdivisionsergebnis bei

\frac{f}{g}

stimmt auch. Allerdings musst du 2 aus dem Definitionsbereich ausschließen, da

g

dort zu null wird.
Bei

2 b)

sind

(f + g) (0)

und

(f - g) (1)

richtig, aber

(f \cdot g) (\frac{1}{2})

ist dann ein Folgefehler.
Tatsächlich gilt

(f \cdot g) (\frac{1}{2}) = \frac{135}{16}

(rechne nach mit der richtigen Funktion)
Und dann ist doch einfach

(\frac{f}{g}) (- 1) = {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0

Da verstehe ich nicht ganz was du gemacht hast.

2 c)

und

2 d)

sehen gut aus bis auf den Folgefehler bei

(f \cdot g)

blutspender aktiv_icon

14:29 Uhr, 03.04.2012

ok, bin gerade noch bei aufgabe 1... ich versuche mich da durchzukämpfen, ist halt wahnsinnig schwer, weil ich so viel verpasst habe. aber ich mache das, was ich kann! danke für die bisherige hilfe - ist ganz beruhigend zu wissen, dass ich noch so einiges kann :-) bis später :-)

Shipwater aktiv_icon

14:36 Uhr, 03.04.2012

Frag dann einfach nochmal nach was du bei

1)

noch nicht verstanden hast.

blutspender aktiv_icon

18:23 Uhr, 03.04.2012

ok, das habe ich bei 1 raus, ich kann den rest leider nicht.

ich kriege es nicht hin die brüche richtig zu schreiben

aber zu a)

I f(x): 3/ (x-2), II g(x): 1/ (x²-9), III: h(x): 2 + (1/x)

Df von I: R \ (2), Df von II: R \ (-3; 3), Df von III: R \ (0)

b, c und d - fällt mir nichts zu ein, einfach zu wenig Stoff

Underfaker aktiv_icon

18:47 Uhr, 03.04.2012

Ich denke, das Problem liegt hier an der mangelnden Erfahrung bezüglich Grenzwerte.

lim_{x \to \infty} \frac{2}{x - 2}

das heißt, was passiert, wenn man sehr großes

x

einsetzt?

Um ein Gefühl für solche Aufgaben zu bekommen insbesondere bei den Definitionslücken (denn dort musst du dich von beiden Seiten ran tasten) kannst du ja ein paar Werte einsetzen die sich dann annähern, hier

z

. B.

x = 100

dann

x = 1000

und interpretieren wie sich der Ausdruck verhält.

Bei der Aufgabe oben sieht man recht leicht, dass im Zähler eine relativ kleine Zahl mit 2 steht, der Nenner aber wegen

x \to \infty

seehr groß ist, nämlich grade

\infty,

was passiert wohl wenn du die 2 durch immer größere Zahlen teilst.

Nehmen wir mal eine Zahl

c \in ℕ

dann gilt im Allgemeinen:

lim_{x \to \infty} \frac{c}{x} = \frac{c}{\infty} = 0

Dadurch, dass das für dich Neuland ist, solltest du dich erstmal ausgiebig damit befassen und ein Gefühl für das Verhalten von Funktionen an bestimmten Grenzen zu bekommen.

Shipwater aktiv_icon

18:49 Uhr, 03.04.2012

Oben hast du das mit den Grenzwerten doch schon gut hinbekommen. Allerdings bist du da komischerweise von

\frac{3}{x} - 2

ausgegangen...

blutspender aktiv_icon

19:11 Uhr, 03.04.2012

also wie gesagt, mir fehlt einfach der stoff der vergangenen zeit. aufgabe 2 konnte ich relativ gut lösen (genauso wie einige andere aufgaben, bei denen ich mir fast sicher bin, sie gekonnt gelöst zu haben - eventuell poste ich die auch hierhin zum abchecken). aber aufgabe 1 und 3 schaffe ich nicht, so sehr ich mich auch bemühe. ich müsste einfach die lösungen und den rechenweg dieser aufgaben sehen, damit ich an diesen weiterarbeiten kann. deshalb bitte ich euch/jeden/jemanden, diese aufgaben, wenn er möchte zu lösen und zu posten damit ich mal überhaupt ein gefühl für diese entwickeln kann. weil so sehr ich mich bemühe, ich kriege sie partout nicht hin, weil ich nicht weiß wie ich anfangen soll, wo ich anfangen soll usw. wenn jemand sich erbarmt - danke!

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19:13 Uhr, 03.04.2012

Du hast Aufgabe 1 doch schon ganz gut hingekriegt am Anfang. Wenn dann stelle konkrete Fragen. Und nicht zu viele auf einmal sonst wird es chaotisch.

blutspender aktiv_icon

19:27 Uhr, 03.04.2012

ich weiß aber einfach nicht mehr weiter! ich habe nun die aufgaben gemacht die ich kann bzw von denen ich ausgehe, dass ich sie kann. 1 und 3 bringen mich zur verzweiflung, egal wie ich sie angehe, mir fehlt einfach viel zu viel stoff. ich habe sie anfangs relativ gut hinbekommen, bis ich gesehen habe, dass ich die brüche gänzlich falsch geschrieben hatte. es ist einfach zu viel, da ich insgesamt 6 aufgaben habe und diese 2 einfach für mich zu kompliziert sind nach einem monat ohne vernünftiges beibringen. die restlichen 4 gehen ziemlich gut, da habe ich auch eine gewisse sicherheit. aber 1 und 3 sind momentan einfach nicht drin. ich weiß auch, dass es viel zu viel verlangt ist und ihr mich nicht kennt und all das. aber ich bitte euch einfach, euch diese aufgaben anzugucken und zu lösen, damit ich überhaupt weiß, wie ihr das macht, wie ihr es angeht und wie es am ende aussehen soll.

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19:32 Uhr, 03.04.2012

Dann fang doch einfach mal bei der

a)

an. Kannst du die Definitionsbereiche selbst angeben?
Edit: Hast du ja oben schon. Dann eben mit der

b)

. Nehmen wir den Grenzwert

lim_{x \to \infty} \frac{3}{x - 2}

. Der Zähler ist konstant, während der Nenner immer größer wird (ohne Grenze) wenn

x \to \infty

läuft. Damit gilt

lim_{x \to \infty} \frac{3}{x - 2} = 0

. Kannst du nun

lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x - 2}

berechnen?

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20:50 Uhr, 03.04.2012

ok, ich habs irgendwie versucht

b) Verhalten bei x = -∞

I lim 3/ (x+2) -> gegen ∞ oder -∞ -> 3/-∞ -> gegen 0
x ->-∞

Gleichung der Asymptote (x)= 0

II lim 1/ (x²-9) -> gegen ∞ oder -∞ -> 1/-∞ -> 0
x ->∞

Gleichung der Asymptote (x) = 0

III lim 2 + (1/x) gegen 0 -> 2+0=2 -> gegen 2
x ->∞

Gleichung der Asymptote (x) = 2

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10:56 Uhr, 04.04.2012

Sieht gut aus, falls ich es richtig interpretiere. Wechsel doch in den Text-Modus dann wird es besser lesbar!

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