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sinussatz mehrere antworten?
Schüler Gesamtschule,
Tags: Kosinussatz, Sinussatz
 
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hallo ich habe mal eine frage, und zwar haben wir gerade den sinus und kosinussatz und wir hatten ein Dreieck gegeben mit 2 seiten und einem winkel und sollten halt die restlichen größen herauskriegen. Meine lehrerin meinte aber, dass es im sinussatz mehrere lösungen gibt. Das heißt für die winkel gibt es halt 2 möglichkeiten wegen der quadrantenbeziehung weil ja auch gleich 180- ist. Stimmt das und könnt ihr mir das an einem beispiel bitte zeigen? dankeschön:) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Sinussatz (Mathematischer Grundbegriff) Rechenregeln Trigonometrie Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Ja, mit dem Sinussatz muss man ein wenig vorsichtig sein.
Denn die Sinusfunktion ist im Bereich von 0 bis 180° eben nicht eineindeutig. Ein Sinuswert von kann sowohl einem Winkel mit 30° als auch mit 150° zugeordnet werden. Bei der Cosinusfunktion dagegen sind die Werte im Bereich von 0 bis 180° eineindeutig, denn die Funktion nimmt in diesem Bereich jeden Wert zwischen und nur einmal an. Nimm mal als Beispiel folgendes Dreieck: Berechnet man den Winkel mit dem Cosinussatz, kommt man auf 36,34°. So weit, so gut. Berechnet man nun aber die restlichen fehlenden Winkel mit dem Sinussatz, so erhält man für 26,39° und für 62,73°. Da ein Dreieck nun mal immer eine Winkelsumme von 180° hat, kann da irgendwas nicht stimmen. Und tatsächlich ist falsch, denn der Sinus für den korrekten Wert des Winkels mit 117,27° ist identisch mit dem von 62,73°. Deswegen ist es sinnvoller, mit dem Cosinussatz fehlende Winkel zu berechnen, wenn dies möglich ist. |
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dankeschön erstmals, muss ich dann durch Probieren herausbekommen, ob oder falsch ist. Man weiß ja nicht von Anhieb welcher falsch ist. In dem Beispiel ist nur falsch, aber es hätte doch auch sein können, wenn andere werte gegeben wären. Ich höffe man versteht, was ich meine:) Und noch eine Frage, wenn es mit den 180 grad hinkommt, kann es dann keine andere Lösung mehr geben,oder? |
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Hallo orbit Ich habe eine Grafik angehängt die das Ganze im Einheitskreis verdeutlicht. Ich nehme an ihr habt Sinus Cosinus etc. im Einheitskreis angeschaut. In der Grafik ist ein Winkel von eingezeichnet das ergibt ungefähr einen Sinuswert von . Die Grüne "Wellenlinie" ist die Kurve des Sinus. Wenn du nun von Punkt aus der blauen Linie folgst ergibt es zwei Schnittpunkte. Beide sind bei genau , aber wenn du von diesem Wert aus zurückrechnest mit ergibt es zwei verschiedene Winkel. Nämlich und . Du kannst im Taschenrechner kontrollieren, es ergibt immer (gerundet). Wie AndreasBL schon gesagt hat ist beim Kosinus der Fall immer klar. Ich gebe dir auch den Tipp. Falls möglich alle Winkel mit dem Kosinussatz zu rechnen. Falls es aber nicht möglich ist mit dem Kosinussatz zu rechnen, rechnest du mit dem Sinussatz die BEIDEN Winkel aus und schreibst beide auf. Wenn es durch die Aufgabestellung dann logisch ist dass es zum Beispiel sein muss und nicht kannst du letzteren weglassen. Wenn nicht, ergibt die Aufgabe zwei Lösungen, was durchaus möglich ist. Zu deiner Frage: Im schiefwinkligen Dreieck gibt es immer zwei Dreiecke bei denen alle Winkel ergeben! Falls du eine Beispielaufgabe möchtest wo solche zwei Dreiecke vorkommen schreib doch nochmal dann zeichne ich sie auf. Grüsse Phippu  |
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Kannst du dich noch an die Kongruenzsätze erinnern? Also jene Sätze, die besagen, wann ein Dreieck eindeutig konstruierbar ist. (SSS, SWS, WSW, SsW) Und was für die Konstruktion gilt, gilt natürlich auch für den rechnerischen Weg. Die in den Kongruenzsätzen geforderten Angaben müssen vorhanden sein, sonst gibt es keine (eindeutige) Lösung. Das bekannteste Beispiel ist die Dreiecksungleichung: sind drei Seitenlängen gegeben, ist das Dreieck nur konstruierbar, wenn für jede Seite gilt, das sie stets kürzer ist, als die beiden anderen Seiten zusammen. Rechnischerisch äußert sich das so, dass der Cosinussatz für einen gesuchten Winkel absurde Cosinuswerte liefert. Auch genau aufpassen muss man bei der Bedingung SsW: es sind zwei Seiten gegeben und ein Winkel. Dieser Winkel muss aber jener sein, welcher der größeren der beiden gegebenen Seiten gegenüber liegt. Daher die Schreibweise SsW. Wäre es anders, nämlich jener Winkel gegeben, der der kleineren Seite gegenüberliegt (sSW), dann existiert in der Regel keine eindeutige Lösung sondern vielmehr entweder zwei Lösungen oder gar keine. Beispiel für SsW: cm cm 45° muss über den Sinussatz berechnet. 28,13° wird nun durch die Gesamtwinkelsumme errechnet. 180° 106,87° Die Seite sollte nun durch den Cosinussatz berechnet werden; es geht in diesem Falle aber auch mit dem Sinussatz, da die gegebenen Verhältnisse und keine stumpfen Winkel enthalten. Und nun das gleiche nochmal als sSw-Beispiel: cm cm 45° Die Sinusfunktion kann aber keinen Wert über 1 liefern. Was heißt das also? Ein Dreieck mit diesen gemachten Angaben kann nicht existieren. Wenn du versuchst, so ein Dreieck zu konstruieren, wirst du merken, dass die Seite a "lose" in der Ebene hängen bleibt ohne die Seite zu erreichen. Ähnliches Beispiel für sSW: cm cm 45° 58,05° 76,95° cm Sieht zunächst erstmal gut aus. Aber es ist nicht die einzige Lösung! Denn könnte auch (90°-58,05°+90°) = 121,95° groß sein. Der Sinus von 121,95° ist schließlich auch . Und dann wäre 13,05° groß und cm lang. Rechnerisch ergibt sich dieses zweite Ergebnis dadurch, weil man bei der Berechnung der anderen Winkel in diesem Falle auf den Sinussatz angewiesen ist. Für den Cosinussatz fehlen die nötigen Argumente. Konstruktionstechnisch sieht es dann so aus, dass die Seite a mit der Seite sowohl im spitzen als auch im stumpfen Winkel einen Berührungspunkt finden kann. Könnte nun das oben genannte eindeutige Beispiel nicht vielleicht auch zweideutig sein, also ein größerer Winkel sein, eben wegen des Sinussatzes? 28,13° wäre dann alternativ (90° - 28,13°)+90° = 151,87° ABER: dieses kommt nicht in Frage, denn die Summe von und zusammen ergäbe hier bereits einen Wert von 196,87° Sind alle Klarheiten beseitigt? :-) |
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jaaaa vielen dank es ist fast alles klar, nur noch eine klitzekleine Frage, was ist denn der unterschied zwischen sSw und sSW, weil von den Beispielen sieht es doch gleich aus, also dass der Winkel der kleineren seite gegenüberliegt? Es ist doch das gleiche oder? |
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Dann muss ich jetzt auch auf Klitzekleinigkeiten herumhacken ;-) Ich habe nicht geschrieben sSw! Ich habe geschrieben sSW, was beudetet: es sind zwei Seiten gegeben und der Winkel, der der kleineren Seite gegenüber(!)liegt. Und bei diesen Gegebenheiten ist ein Dreieck in der Regel nicht oder nicht eindeutig konstruierbar. Und dann habe ich noch geschrieben SsW, was heißen soll: es sind zwei Seiten gegeben und der Winkel, der der größeren Seite gegenüberliegt. In diesem Falle ist das Dreieck eindeutig konstruierbar. Anhand der drei Beispiele, die ich gemacht habe, ist es klar ersichtlich, was ich meine. Versuch aus den Angaben mal jeweils ein Dreieck zu konstruieren. Man muss natürlich schon wissen, dass der Winkel der Seite a gegenüberliegt; ebenso verhält es sich bei und bzw. und . Wenn es heißt Seite a und und Winkel sind gegeben, kannst du nicht einfach statt den Winkel als gegeben ansehen. Vielleicht ist das der Grund fürs Nichtverstehen meiner Darstellung? |
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"Und nun das gleiche nochmal als sSw-Beispiel:" da steht das mit dem sSw, bei dem Beispiel, das zu keiner Lösung führt. Ich hatte nicht vor auf Kleinigkeiten herumhacken, ich dachte das ist vielleicht einer anderer Satz.Jaja meine Geometrie Kentnisse halten sich in Grenzen:D Aber ich weiß aber das gegenüber der seite a liegt, usw. und die Beispiele habe ich super verstanden. Achso und deine Erklärungen sind verständlich und hilfreich gewesen, ich habs fast 1 zu 1 in mein Merkteil übertragen. :) Vielen Dank für deine Antwort und auch an die anderen ein Dankeschön.
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