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Herleitung des Sinus-Cosinus-Additionstheorems

Schüler Gymnasium,

Tags: Herleitung, Sätze, Trigonometrie

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anonymous

anonymous

21:04 Uhr, 11.02.2016

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Einen schönen Abend liebes Mathe-Forum,

wir sollen herleiten, warum

s i n (x + y) = s i n (x) \cdot c o s (y) + c o s (x) \cdot s i n (y)

gilt.

Dazu habe ich folgende Internetseite gefunden:

http://www.matheretter.de/programme/?id=a0133&free=1

Dort wird dargestellt, dass

s i n (α + β) = y_{1} + y_{2}

; bloß habe ich den Schritt
leider noch nicht ganz durchdrungen.

Hier meine bisherigen Überlegungen:

y_{1} = s i n (α) \cdot c o s (β)

y_{2} = c o s (α) \cdot s i n (β)

Wenn also

y_{1} + y_{2} = s i n (α + β)

, dann habe ich die Herleitung auch.

Für jeden Tipp bin ich extrem dankbar! :-)

Viele Grüße
Imahn

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens

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Respon

21:47 Uhr, 11.02.2016

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Nachdem diese Identität schon bekannt ist, brauchst du sie nur noch verifizieren.
Verwende:

e^{i \cdot a} = cos (a) + i \cdot sin (a)

und

e^{- i \cdot a} = cos (a) - i \cdot sin (a)

\Rightarrow

cos (a) = \frac{1}{2} \cdot (e^{i \cdot a} + e^{- i \cdot a})

sin (a) = \frac{1}{2 \cdot i} \cdot (e^{i \cdot a} - e^{- i \cdot a})

Wende das nun für

sin (x) \cdot cos (y) + cos (x) \cdot sin (y)

an, und du erhältst zuletzt

\frac{1}{2 \cdot i} \cdot (e^{i \cdot (x + y)} - e^{- i \cdot (x + y)}) = sin (x + y)

Antwort

Respon

22:02 Uhr, 11.02.2016

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Der umgekehrte Weg - also ausgehend von

sin (x + y) -

ist auch machbar, erfordert allerdings einige Tricksereien.
Es gilt:

e^{i \cdot (x + y)} = cos (x + y) + i \cdot sin (x + y)

Umgekehrt läßt sich

e^{i \cdot (x + y)}

folgendermaßen umformen:

e^{i \cdot (x + y)} = e^{i \cdot x} \cdot e^{i \cdot y} = (cos (x) + i \cdot sin (x)) \cdot (cos (y) + i \cdot sin (y)) =

= [cos (x) \cdot cos (y) - sin (x) \cdot sin (y)] + i \cdot [sin (x) \cdot cos (y) + cos (x) \cdot sin (y)]

Durch einen Vergleich der beiden Real- bzw. Imaginärteile erhält man sofort beide Identitäten.

cos (x + y) = cos (x) \cdot cos (y) - sin (x) \cdot sin (y)

sin (x + y) = sin (x) \cdot cos (y) + cos (x) \cdot sin (y)

( Dein ganz oben angesprochener Beweis ist nicht empfehlenswert, da er sich nur auf Argumente

\leq \frac{π}{2}

bezieht. )

Frage beantwortet

anonymous

anonymous

08:41 Uhr, 13.02.2016

Antworten

Hey Respon, vielen Dank für die Herleitung! :-)

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