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limes, Integral
Universität / Fachhochschule
Funktionenfolgen
Grenzwerte
Integration
Tags: Funktionenfolgen, Grenzwert, Integration
 
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Hi, Hab ein Problem beim bilden von folgendem limes: Wie bilde ich das Integral? lg Jenny Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff) Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff) Wichtige Grenzwerte Flächenberechnung durch Integrieren Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Ableiten mit der h-Methode Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen Grenzwerte im Unendlichen e-Funktion |
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Hi Jenny, die Idee, erst mal das Integral zu lösen und dann mit der Formel den Grenzwert zu berechnen, ist meiner Meinung nach nicht so gut. Ich habe mit dem Integrationstool von Wolfram ( integrals.wolfram.com/index.jsp ) versucht, eine Regelmäßigkeit der Integrale in Abhängigkeit von zu finden. Aber außer daß die Formeln mit wachsendem immer ungeheuerlicher wurden, ist nichts rausgekommen. Besser ist es, wenn Du Dir die Funktionen für verschiedene, anwachsende Werte von in ein Diagramm zeichnest (Geogebra oder Excel). Dann siehst Du wie im Grenzwert die Funktion zu einer "Rechteck"funktion wird, die Du leicht integrieren kannst. Damit hast Du erst mal die Lösung. Ein exakter mathematischer Beweis ist das allerdings noch nicht. Der erfordert noch ein bischen Zusatzaufwand. Gruß QPhma |
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hmm... da die Funktion nicht gleichmäßig konvergent ist kann ich und nicht vertauschen oder??? hab mir grad auch nen paar Integrale für wachsende angeschaut , aber Regelmäßigkeit sieht anders aus :-) |
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Da kann ein Trick helfen. Kritisch sind die Stellen und . Wenn man den Definitionsbereich der Funktionenfolge so ändert, daß um herum jeweils ein kleines Intervall ausgeschnitten wird, also wird die Funktionenfolge gleichmäßig konvergent. Am Integral müssen dann natürlich diese beiden Intervalle auch ausgespart werden. Der dadurch entstehende Fehler kann abgeschätzt werden. Er ist, unabhängig vom größer als Null und kleiner als da der Funktionswert von für alle maximal den Wert 1 hat. Mit der so abgewandelten Funktionenfolge kann man Grenzwert und Integral vertauschen. Läßt man jetzt das gegen Null gehen, kommt man zur gesuchten Lösung. |
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dann habe ich eine Grenzfunktion die im Intervall ist und sonst 0 ist oder? jetzt müsste man ja noch wissen wo die integral-grenzen liegen oder ist das egal?? |
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Nein, der Definitionsbereich der Funktion geht im wesentlichen schon von bis . Nur um die Stellen und herum ist ein kleines Stück ausgeschnitten. Dieses Stück hat jeweils eine Breite von . Da man das beliebig klein machen kann, hat das ausgeschnittene Stück keine Auswirkung auf das Integral. Die Berechnung des Integrals erfolgt für die rechteckförmige Grenzfunktion der Funktionenfolge. Insgesamt ist der Wert des Integrals sicher von den Werten a und abhängig. Dazu kannst Du eine Fallunterscheidung machen: 1. und 2. 3. 4. 5. 6. und |
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