Potenzfunktionen

Die Funktionsgleichung einer Potenzfunktion [mehr dazu] hat folgende Form:



Dabei ist:

${\displaystyle a\in ℝ\backslash \left\{0\right\} }$ eine reelle Zahl außer die Null,

${\displaystyle n\in \mathbb{Z}\backslash \left\{0\right\} }$ eine ganze Zahl außer die Null.

Beispiele für Potenzfunktionen:

1. ${\displaystyle a=2,n=1 \Rightarrow f\left(x\right)=2x }$ eine Gerade durch den Ursprung

${\displaystyle 2. a=-1,n=2 \Rightarrow f\left(x\right)=-x^2 }$ eine Parabel [mehr dazu]

3. ${\displaystyle a=1,n=-3 \Rightarrow f\left(x\right)=x^{-3}=\frac{1}{x^3} }$ eine Hyperbel


Wichtige Eigenschaften von Potenzfunktionen:

Definitionsbereich [mehr dazu], Wertebereich, Symmetrie [mehr dazu], etc.. sind vom Exponenten ${\displaystyle n}$ abhängig.


1.Fall:

${\displaystyle f\left(x\right)=x^n}$

${\displaystyle n}$ ist positiv und gerade ${\displaystyle (z.B n=4)}$



Definitionsbereich [mehr dazu]: ${\displaystyle D=ℝ}$

Wertebereich: ${\displaystyle W={ℝ}^{+}=[0;+\infty ]}$

Symmetrie [mehr dazu]: Der Graph einer solchen Potenzfunktion [mehr dazu] ist symmetrisch zur x-Achse.

Alle Graphen gehen durch den Ursprung ${\displaystyle \left(0|0\right)}$




2.Fall:

${\displaystyle f\left(x\right)=x^n}$

${\displaystyle n}$ ist positiv und ungerade ${\displaystyle (z.B n=5)}$



Definitionsbereich [mehr dazu]: ${\displaystyle D=ℝ}$

Wertebereich: ${\displaystyle W=ℝ}$

Symmetrie [mehr dazu]: Der Graph einer solchen Potenzfunktion [mehr dazu] ist symmetrisch zum Ursprung.

Alle Graphen gehen durch den Ursprung ${\displaystyle \left(0|0\right)}$




3.Fall:

${\displaystyle f\left(x\right)=x^n}$

${\displaystyle n}$ ist negativ und gerade ${\displaystyle (z.B n=-6)}$



Definitionsbereich [mehr dazu]: ${\displaystyle D=ℝ\backslash \left\{0\right\}}$

Wertebereich: ${\displaystyle W={ℝ}^{+}=]0;+\infty ]}$

Symmetrie [mehr dazu]: Der Graph einer solchen Potenzfunktion [mehr dazu] ist symmetrisch zur y-Achse

Die Koordinatenachsen sind Asymptoten.




4.Fall:

${\displaystyle f\left(x\right)=x^n}$

${\displaystyle n}$ ist negativ und ungerade ${\displaystyle (z.B n=-3)}$



Definitionsbereich [mehr dazu]: ${\displaystyle D=ℝ\backslash \left\{0\right\}}$

Wertebereich: ${\displaystyle W=ℝ\backslash \left\{0\right\}}$

Symmetrie [mehr dazu]: Der Graph einer solchen Potenzfunktion [mehr dazu] ist symmetrisch zum Ursprung.

Die Koordinatenachsen sind Asymptoten.



Für die Ableitung [mehr dazu] einer Potenzfunktion [mehr dazu] gilt stets:




Die Umkehrfunktion der Potenzfunktion [mehr dazu] ist die Wurzelfunktion [mehr dazu]