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Anwendungsaufgabe - Kurvendiskussion

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Anwendungsaufgabe, Kurvendiskussion

Nik99 aktiv_icon

19:26 Uhr, 10.05.2015

Guten Abend,
ich schreibe morgen eine Mathe-Klausur und nachdem ich mir alles nochmal angeschaut habe, wollte ich noch ein paar Aufgaben im Buch lösen.

Die Aufgabe lautet:

f (x) = - \frac{1}{6} \cdot x^{3} - x^{2} + \frac{16}{3}

So in den Aufgabenteilen

a - c

soll der Graf nun skizziert werden, auf Extrempunkte

(f' (x) = 0)

untersucht und auf Wendepunkte

(f'' (x) = 0)

untersucht werden,
was ja kein Problem darstellt.

so nun aber:

d)

Für

- 5 < x < 0

beschreibt der Graph von

f

modellhaft den Querschnitt einer Senke. Am tiefsten Punkt wird ein Osterfeuer angezündet.
Beschreiben sie, welche Punkte der Senke vom Feuer erleuchtet werden.

e)

Eine Einheit entspricht

10 m

im Gelände.
Wie hoch muss eine Aussichtsplattform am rechten Rand der Senke mindestens sein, damit eine Person mit

1,67 m

Augenhöhe, von dort das Feuer beobachten kann.

Ich weiß leider überhaupt nicht, das hier gefordert ist.
Zu

d

müsste ich doch eigentlich wissen, welchen Radius das Feuer beleuchtet und zu

e

kann das Feuer ja eigentlich jeder sehen, wenn er nach unten schaut, oder stehe ich auf dem Schlauch?

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann.
Ich brauche keine ganze Rechnung, nur eine kleine Einweisung in welche Richtung ich denken muss :-D)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

20:24 Uhr, 10.05.2015

Trickreiche Einkleidgung der Aufgabe.

Gemeint ist, dass du jenen Punkt auf dem Graphen findest, dessen Tangente die x-Achse an der Feuerstelle schneidet und du dann die Funktionswerte dieser Tangente und der gegebenen Funktion an der Stelle 0 betrachtest.

Wenn dir das Newtonsche Näherungsverfahren (nein, du benötigst es für diese Aufgabe nicht!) etwas sagt und du weißt, das sich eine Approximation aus der nächsten mittels

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f' (x_{n})}

berechnet, dann weißt du auch, wie du den Schnittpunkt der Kurventangente an jeder beliebigen Stelle mit der x-Achse berechnest. Sagt dir das Newton-Verfahren nichts, musst du die obige Beziehung eben herleiten.

Die folgende Grafik erhellt hoffentlich auch ohne Osterfeuer die Situation.

Beleuchtung

Nik99 aktiv_icon

20:51 Uhr, 10.05.2015

Ok,
die Aufgabe ist mir jetzt auf jeden Fall viel klarer geworden!

Ich muss also eine Tangente bestimmen, die den Grafen im Intervall I

[

-4;

0]

gerührt und durch den Punkt

(- 4 | f (- 4))

geht.

Wie gehe ich dabei am besten vor?

Tired aktiv_icon

21:50 Uhr, 10.05.2015

Tipp: An einer "Berührungsstelle" haben Tangente und Graph dieselbe Ableitung.

Aber wenn der Graph von oben alle bekannten Punkte anzeigt, hast du ja quasie schon zwei Punkte einer Gerade, ansonsten gilt mein Tipp, vorrausgesetzt

- 4, f (- 4)

ist gegeben und die Berührungsstelle ist ebenso gegeben

(Vermutlich schreibe ich aber auch nur Mist, weil ich nur mal kurz draufgeguckt hab

:' D) . .

Roman-22

02:02 Uhr, 11.05.2015

@Tired: Die Berührungsstelle ist leider nicht bekannt

Der Funktionswert an der Stelle

- 4

ist Null. Die Kurvendiskussion sollte auch bereits ergeben haben, dass

- 4

ein Tiefpunkt ist, die x-Achse ist also Tangente. Das bedeutet, dass

x = - 4

eine doppelte Nullstelle der Funktion

f (x) = - \frac{1}{6} x^{3} - x^{2} + \frac{16}{3} = - \frac{1}{6} \cdot (x^{3} + 6 x^{2} - 32)

ist.

Daher muss sich der Faktor

(x + 4)

doppelt abspalten lassen, wodurch man mittels Polynomdivision oder noch besser durch scharfes Hinsehen (Satz von Vieta) auf die Zerlegung

f (x) = - \frac{1}{6} \cdot {(x + 4)}^{2} \cdot (x - 2)

kommt.

Jede Gerade, welche durch den Osterfeuerpunkt

P (- 4 | 0)

läuft, hat die Gleichung

y = m \cdot (x + 4)

.
Daraus erhalten wir eine Formel für den Anstieg mit

m = \frac{y}{x + 4}

.

Wenn diese Gerade Tangente in einem Punkt des Graphen von

f (x)

sein soll, dann muss sich ihr Anstieg aber auch mithilfe der ersten Ableitung

f' (x) = - \frac{1}{6} \cdot (3 x^{2} + 12 x) = - \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 4)

berechnen lassen und wir erhalten durch Gleichsetzen

- \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 4) = \frac{y}{x + 4}

oder

- \frac{1}{2} \cdot x \cdot {(x + 4)}^{2} = y

.
Für

y

ist jetzt der Funktionsterm

f (x)

einzusetzen

- \frac{1}{2} \cdot x \cdot {(x + 4)}^{2} = - \frac{1}{6} \cdot {(x + 4)}^{2} \cdot (x - 2)

Wir dividieren beidseits durch

{(x + 4)}^{2}

. Dadurch verlieren wir bloß die uns nicht interessierende "Lösung"

x = - 4

- \frac{1}{2} \cdot x = - \frac{1}{6} \cdot (x - 2)

Na, und weiter vorrechnen bis

x = - 1

muss ich das ja wohl nicht mehr.

Ohne den Glücksfall, dass wir "zufälligerweise" eine doppelte Nullstelle der Funktion ermitteln konnten, wäre uns vermutlich nur der Weg einer numerischen Näherung mithilfe einer geeigneten Rechenhilfe zur Verfügung gestanden, den die Formel von Cardano ist ja wohl nicht Schulstoff.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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