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Bestimmtes Integral bestimmen-Flächeninhalt?

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Flächeninhalt, Integral

hannah912 aktiv_icon

18:26 Uhr, 05.01.2011

hallo
bräuchte hilfe bei diesem bestimmten beispiel, unzwar

\int_{0}^{2} (x^{2} - x + 1)

. Hierfür muss ich den Flächeninhalt berechnen und mein erster Gedanke war da erstmal die Nullstellen zu berechnen. Das kann man hier ja mit der p-q-Formel machen, weil die ja schon in der Normalform vorliegt. Nun hab ich das aber gemacht und es kommen negative werte raus und aus negativen werten kann ich ja nicht di wurzel ziehen. Somit rechne ich nicht weiter und schreibe keine reellen Lösungen. Aber jetzt kann ich ja auch nicht weitervorgehen, um den Flächeninhalt zu bestimmen, weil ich ja keine Nullstellen habe. Wie soll ich denn jetzt weiter vorgehen? Ist die Rechnung hier beendet?

: S

x^{2} - x + 1 p = - 1 q = 1

\Rightarrow - (- \frac{1}{2}) \pm \sqrt{{(- \frac{1}{4})}^{2} - 1}

\Rightarrow \frac{1}{2} \pm \sqrt{- \frac{17}{16}}

NEGATIV!!??

Danke im Vorraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Alx123 aktiv_icon

18:32 Uhr, 05.01.2011

Hallo,
wozu brauchst du denn die Nullstellen?

hannah912 aktiv_icon

19:03 Uhr, 05.01.2011

ich muss doch den flächeninhalt bestimmen. und das wird bestimmt indem ich erstmal die nullstellen ermittle. ich hab mich bei dieser seite informiert www.onlinemathe.de/forum/Berechnung-eines-Flaechenstuecks-Flaeche
gibt es noch einen anderen weg?

raga86 aktiv_icon

19:15 Uhr, 05.01.2011

Integral aufleiten!

(x^3/3)-(x^2/2)+x (ich nenne diese lösung f(x))

und jetzt

f(2)-f(0)=Flächeninhalt

hannah912 aktiv_icon

19:22 Uhr, 05.01.2011

nee das ist nicht das. so berechnet man den flächeninhalt bei irgendeiner stelle, hat meine lehrerin gesagt. ich hatte das nämlich auch schon unzwar

\frac{8}{3}

. aber ich muss irgendwas anderes machen hat sie gesagt. ich gib dir mal ein beispiel:

\int_{1}^{3} (x^{2} - 2 x) = {[\frac{1}{3} x^{3} - x^{2}]}_{1}^{3} = F (3) - F (1) = \frac{2}{3}

und ich weiß, dass der fächeninhalt

= 2

ist, hab ich noch aufgeschnappt, aber dann war die stunde zu ende. und wie kommen die darauf :SS ich bin hier echt am verzweifeln

Shipwater aktiv_icon

19:25 Uhr, 05.01.2011

Achtung: Integral und Flächeninhalt sind zwei unteschiedliche Begriffe. Das Integral ist die Summe der orientierten Flächeninhalte. Das heißt, dass ein Integral im Gegensatz zu einem Flächeninhalt durchaus negativ sein kann.
Sollst du jetzt

\int_{0}^{2} (x^{2} - x + 1) d x

berechnen oder den Flächeninhalt, den der Funktionsgraph von

y = x^{2} - x + 1

mit der x-Achse im Intervall

[0; 2]

einschließt? In diesem Fall ist es aber sowieso egal, da es keine Nullstellen gibt und das Integral mit dem Flächeninhalt übereinstimmt.

Gruß Shipwater

hannah912 aktiv_icon

19:28 Uhr, 05.01.2011

Zweites. Ich hab die Nullstellen bestimmt, aber da ist unter der wurzel ein negativer wert und damit kann ich ncihts anfangen.

Shipwater aktiv_icon

19:29 Uhr, 05.01.2011

Es gibt eben keine Nullstellen. Und da die Parabel nach oben geöffnet ist, stimmt das Integral mit dem Flächeninhalt überein.

hannah912 aktiv_icon

19:32 Uhr, 05.01.2011

hä
also was ist jetzt die

\frac{8}{3}

die ich ausgerechnet hab und den flächeninhalt kann ich nciht berechen?

Shipwater aktiv_icon

19:33 Uhr, 05.01.2011

Nein, der Flächeninhalt ist einfach

A = \frac{8}{3} [F E]

hannah912 aktiv_icon

19:38 Uhr, 05.01.2011

und wie rechnest du dann den flächeninhalt bei

z . B \int_{1}^{3} (x^{- 2})

aus?
vorher hab ich

F (3) - F (1)

gemacht und hab

- \frac{2}{3}

raus.

Shipwater aktiv_icon

19:41 Uhr, 05.01.2011

\int_{1}^{3} x^{- 2} d x = \frac{2}{3}

und das ist auch der Flächeninhalt.

hannah912 aktiv_icon

19:43 Uhr, 05.01.2011

aber nur der flächeninhalt an irgendeiner stelle. ich brauch den für eine konkrete stelle oder so

Shipwater aktiv_icon

19:49 Uhr, 05.01.2011

Hä???

hannah912 aktiv_icon

19:55 Uhr, 05.01.2011

dann ist jede lösung die ich bereits habe der angebliche flächeninhalt. das stimmt voll nicht:/ wie kann das denn sein das die im unterricht für den flächeninhalt, was du behauptest das das der ist,

\frac{2}{3}

raus haben und bei der rechnung wo die den wirklichen flächeninhalt bestimmen sollten, plötzlich 2 raus hatten

\frac{:}{}

Shipwater aktiv_icon

19:55 Uhr, 05.01.2011

Von welcher Fläche/Funktion redest du denn gerade?

hannah912 aktiv_icon

20:04 Uhr, 05.01.2011

von

\int_{1}^{3} (x^{2} - 2 x)

Shipwater aktiv_icon

20:14 Uhr, 05.01.2011

Es ist

\int_{1}^{3} (x^{2} - 2 x) d x = \frac{2}{3};

aber der Flächeninhalt den

y = x^{2} - 2 x,

die x-Achse und die Geraden

x = 1

und

x = 3

einschließen ist 2. Lass dir den Funktionsgraphen doch mal plotten. Dann siehst du dass

\int_{1}^{2} (x^{2} - 2 x) d x

negativ ist, während

\int_{2}^{3} (x^{2} - 2 x) d x

positiv ist. Also musst du hier

A = | \int_{1}^{2} (x^{2} - 2 x) d x | + \int_{2}^{3} (x^{2} - 2 x) d x

berechnen.
http//funktion.onlinemathe.de/

hannah912 aktiv_icon

20:18 Uhr, 05.01.2011

genau das meinte ich die ganze zeit. aber die

\int_{0}^{2} (x^{2} - x + 1)

kann ich immer noch nicht berechnen oder, weils ja negativ ist, wenn ich die NUllstellen berechnen will?
und

\int_{1}^{3} (x^{- 2})

kann ich auch nicht auf diese weise berechnen oder? weil ja nur eine unbekannte da ist und keine zahl.

Shipwater aktiv_icon

20:20 Uhr, 05.01.2011

Du verstehst es nicht. Bei den zwei gerade von dir genannten Fällen stimmt der Flächeninhalt einfach mit dem Integral überein, da der Funktionsgraph im gesamten Intervall oberhalb der x-Achse verläuft.

hannah912 aktiv_icon

20:21 Uhr, 05.01.2011

stimmt, versteh ich wirklich nicht. aber egal, nimm ich einfach so hin. danke für die hilfe

Shipwater aktiv_icon

20:23 Uhr, 05.01.2011

Das Integral stimmt erst dann nicht mit dem Flächeninhalt überein, wenn der Funktionsgraph im Intervall auch unterhalb der x-Achse verläuft. Lass dir die Graphen mal zeichnen, vielleicht wird es dann klarer. Never give up!

Gruß Shipwater

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