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Bestimmung ganzrationaler Funktionen

Schüler Fachschulen,

Tags: Nullstellen, polynom

Caner1992 aktiv_icon

18:36 Uhr, 18.01.2014

Hey Leute,

brauche dringend eure Hilfe,

Welches Polynom 3. grades hat dieselben Nullstellen wie

f (x) = 2 x - \frac{1}{2} x \cdot 3

(xhoch3), beide Graphen stehen im Ursprung senkrecht aufeinander ?

habe die funktion erstmal in klammern gesetzt und die nullstellen berechnet.

Nx1

= 0

Nx2=

- 2

Nx3

= 2

komme aber ab diesen Punkt nicht mehr weiter..

wär nett wenn ihr helfen würdet:-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
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Aurel

19:08 Uhr, 18.01.2014

ein Polynom 3. Grades hat die allg. Form

y (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

also gilt es die 4 Unbekannten

a, b, c, d

auszurechnen.

Im Ursprung senkrecht führt zur Gleichung:

y' (x) = - \frac{1}{f' (x)}

jetzt brauchst noch 3 weitere Gleichungen - mittels der Nullstellen aufstellen

Matlog aktiv_icon

19:14 Uhr, 18.01.2014

Bei gleichen Nullstellen genügt aber auch eine Variable:

g (x) = k \cdot f (x)

Caner1992 aktiv_icon

19:17 Uhr, 18.01.2014

ok also die x-werte in die allgemeine form einsetzen oder ?

Aurel

19:28 Uhr, 18.01.2014

ich dachte

f (x)

lautet so:

f (x) = 2 x - \frac{1}{2} x \cdot 3 x^{3}

du meinst aber vermutlich

f (x) = 2 x - \frac{1}{2} x^{3}

in diesem Fall gibt es eine (negative) Zahl

k,

mit

y (x) = k \cdot f (x),

sodass die Funktionen im Ursprung senkrecht sind - wie Matlog richtig bemerkte

Caner1992 aktiv_icon

19:41 Uhr, 18.01.2014

wenn ich die

x

werte einsetze bekomme ich :

d = 0

- 8 a + 4 b - 2 c + d = 0

8 a + 4 b + 2 c + d = 0

aber laut musterlösung steht auch noch

2 c = - 1

verstehe das irgendwie nicht..

Aurel

19:52 Uhr, 18.01.2014

durchs Einsetzen der Nullstellen bekommst du 3 Gleichungen und die 4. Gleichung bekommst durch

y' (0) = - \frac{1}{f' (0)}

oder aber die schnellere Methode:

f (x) = 2 x - \frac{1}{2} x^{3}

y (x) = k \cdot f (x) = 2 k x - \frac{1}{2} k x^{3}

nun soll gelten:

y' (0) = - \frac{1}{f' (0)}

also einfach

f

und

y

ableiten, einsetzen und

k

ausrechnen

Caner1992 aktiv_icon

20:02 Uhr, 18.01.2014

Ich verstehe Ihre Formulierung nicht

: (

muss ich von

f (x)

die erste ableitung machen, Können Sie mir bitte das ausführlicher schreiben, wenns geht.

Aurel

20:03 Uhr, 18.01.2014

ja genau

f' (x)

bedeutet die 1. Ableitung von

f (x)

Caner1992 aktiv_icon

20:09 Uhr, 18.01.2014

ich habe f´(x) = -1,5x²+2

was ist mein nächster schritt ?

Aurel

20:38 Uhr, 18.01.2014

passt gut

f' (x) = - 1,5 x^{2} + 2

also

f' (0) = 2

und

y (x) = k \cdot f (x)

somit

y' (x) = k \cdot f' (x)

und

y' (0) = k \cdot f' (0)

also:

y' (0) = k \cdot 2

nun muss die Steigung von

f

im Ursprung senkrecht zu der Steigung von

y

sein.

WICHTIG ist hier also:

die zu einer Steigung

k

senkrechte Steigung lautet

- \frac{1}{k}

und die 1. Ableitung ist gleich der Steigung

y' (0) = - \frac{1}{f'} (0)

einsetzen:

k \cdot 2 = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow

k = - \frac{1}{4}

somit lautet die gesuchte Funktion:

y (x) = - \frac{1}{4} \cdot f (x)

also:

y (x) - \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} x^{3}

Caner1992 aktiv_icon

21:41 Uhr, 18.01.2014

Dankeschön jetzt habe ichs verstanden, vielen dank :-))

Caner1992 aktiv_icon

22:26 Uhr, 18.01.2014

eine verständnisfrage = wie haben Sie den

k = - \frac{1}{4}

rausbekommen ?

Aurel

22:29 Uhr, 18.01.2014

k \cdot 2 = - \frac{1}{2} ... ... ... ... . .

. dividiert durch 2

k = - \frac{1}{4}

Caner1992 aktiv_icon

22:32 Uhr, 18.01.2014

ok und diese

- \frac{1}{4}

nehme ich wieder mit mal 2 und bekomme

- \frac{1}{2} x

oder ?

Aurel

22:34 Uhr, 18.01.2014

richtig

Caner1992 aktiv_icon

22:43 Uhr, 18.01.2014

warum dividiert man durch 2 und nimmt es wieder mit mal 2 ??

Aurel

22:58 Uhr, 18.01.2014

:-)

zunächst errechnet man

k = - \frac{1}{4}

und dann berechnet man

y (x) = k \cdot f (x)

also:

y (x) = - \frac{1}{4} \cdot f (x)

nun setz einfach für

f (x)

den Term

2 x - \frac{1}{2} x^{3}

ein und multipliziere diesen Term mit

- \frac{1}{4},

dann erhälst du das Endergebnis

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