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Beweis endlich vieler Nullstellen
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Tags: endlich, Funktion, Nullstellen, Nullstellenmenge
 
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Hallo zusammen, ich beiss mir schon wiedermal die Zähne aus. Erfahrungsgemäß gibt es also eine ganz einfache Lösung, aber ich finde keinen Ansatz. Die Aufgabenstellung ist: Sei differenzierbar. Für alle gelte . Beweisen Sie, dass f in [a,b] nur endlich viele Nullstellen hat. Soweit ist mir klar, dass die konstante Funktion 0 zwar unendliche viele Nullstellen hat, aber eben die Bedingung nicht erfüllt. Eine Funktion mit wäre meines Erachtens ein möglicher Kandidat für unendlich viele Nullstellen, nur hab ich hier keinen Schimmer wie ich die unendliche bzw. endlich Anzahl der Nullstellen hier beweisen könnte. Da f eine stetige und differenzierbare Funktion im Intervall ist folgt mit dem Zwischenwertsatz von Bolzano, dass ∃d∈[a,b]:-D)≠0:f(a)≤d≤f(b) geben muss. Aber daraus kann ich ja nicht folgern, dass es deswegen nun eine endliche Anzahl Nullstellen gibt, oder? Angeblich ist die Lösung sehr simple. Könntet ihr mir bitte einen Stupser geben ? Vielen herzlichen Dank, Francesco Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff) Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten Allgemeine Sinusfunktion Einführung Funktionen Nullstellen Nullstellen bestimmen Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten Allgemeine Sinusfunktion Einführung Funktionen Nullstellen Nullstellen bestimmen |
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Angenommen, es gibt unendlich viele Nullstellen. Dann hat die Nullstellenmenge einen Häufungspunkt Man findet dann auch eine gegen gehende Folge von Nullstellen von . Als differenzierbare Funktion ist erst recht stetig. Daher folgt . Kann man vielleicht auch schließen? Achtung: braucht nicht stetig zu sein!! Verwende direkt die Definition von |
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Hallo Hagman, vielen Dank für deine Hilfestellung. Ich hoffe ich habe es auch richtig umgesetzt. Es gilt . Angenommen, es gibt unendlich viele Nullstellen. Dann existiert auch eine Folge mit der Eigenschaft . Da f differenzierbar ist, ist f auch stetig, und es folgt, dass das Bild von ebenso ein Intervall ist. Damit ist stetig und beschränkt also existiert mind. ein Häufungspunkt c und es folgt . Für die Ableitung f‘ ergibt sich daraus Und es folgt bzw. ein Widerspruch zu Annahme! Und es folgt, dass in nur endlich viele Nullstellen haben kann. Vielen herzlichen Dank, Francesco |
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