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Beweis für maximale Fläche beim Dreieck
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
Flächenberechnung
Tags: Beweis, Flächenberechnung, Flächeninhalt, Geometrie, Grundwissen, Umfang
 
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Hallo erstmal, ich schreibe meine Seminararbeit über die Bienenwaben und sitze gerade an der Berechnung des Querschnitts. Zuerst muss ich aber mal Beweisen, dass gleichseitige Dreiecke beziehungsweise Sechsecke, die mit dem größtem Flächeninhalt sind. Beim Quadrat habe ich es schon bewiesen. Ich habe auch schon mehrere ähnlich fragen gefunden, die Vorgehensweise aber leider nie verstanden. Die Maximalwertrechnung, die da manche angewendet haben, hat mich total verwirrt... Vielleicht kann das ja einer von euch verständlich erklären bzw. mir sagen wie man auf logische und einfach Weise erklärt, dass gleichseitige Dreiecke den größten flächeninhalt unter Dreiecken haben. Vielen Dank schonmal Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kreis (Mathematischer Grundbegriff) Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff) Flächenberechnung durch Integrieren Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Flächenberechnung und bestimmtes Integral Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks Flächeninhalt und Umfang eines Parallelogramms Flächeninhalt und Umfang eines Trapezes Flächenberechnung und bestimmtes Integral Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks Flächeninhalt und Umfang eines Parallelogramms Flächeninhalt und Umfang eines Trapezes |
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Studier mal das ab www.sciencesouthtyrol.net/blob/85642,,,PI,21,413.pdf eventuell bringt mein Bild auch Erkenntnisse, Ideen  |
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Hallo, ich arbeite mittlerweile schon länger an diesem Beweis, bin aber immer wieder in Sackgassen gelangt.... Hat jemand zufällig schon einen fertigen Beweis dafür, an dem ich es mir erklären könnte? Das wäre wirklich super.... |
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Hallo vielleicht zeigst du uns mal, was du bisher versucht hast? Du meinst doch wohl Dreiecke mit festem Umfang? Gruß ledum |
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Hast du meinen Link schon mal angeschaut. Hier gibt's auch interessantes youtu.be/MaZEX1eBjM8 und lies in: www.sciencesouthtyrol.net/blob/85642,,,PI,21,413.pdf Für Parkettierungen eignen sich und Sechsecke besonders gut.  |
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Hallo, danke für die Links, ich habe sie mir angeschaut und bin jetzt auch auf eine Idee gekommen. Ich möchte versuchen eine Parabel aufzustellen, die das Verhältnis zwischen Grundseite und Höhe in einem Dreieck beschreibt. Der Extrempunkt der Parabel müsste dann ja der perfekte wert für die höhe in abhängigkeit zur Grundseite sein. Wie kann ich diese Parabel am besten aufstellen? Der Extremwert müsste am Ende bei liegen. |
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Du hast bisher trotz Rückfrage noch immer nicht präzisiert, WAS genau du beweisen möchtest. "Zuerst muss ich aber mal Beweisen, dass gleichseitige Dreiecke . die mit dem größtem Flächeninhalt sind." ist in dieser Formulierung ja Humbug. Egal welches gleichseitige Dreieck du mir auch präsentierst, ich kann dir ein nicht-gleichseitiges nennen, dass einen größeren Flächeninhalt hat. Da fehlt also noch was und dazu gabs ja auch schon eine Vermutung. Ansonsten: Versuchs doch einfach mal mit Heron. |
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Genau was Roman rät wird von einer Schülerin gemacht. |
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Ich bin mir nicht sicher, ob man Extremwerte von Funktionen in zwei unabhängigen Variablen in der . Klassenstufe voraussetzen kann. Es geht aber auch ohne, wenn man verwenden darf, dass das geometrische Mittel einer Reihe von Werten immer dem arithmetischen Mittel ist. Fürs Erste wärs aber sinnvoll, wenn ameliewe endlich klar formulieren würde, was genau sie beweisen möchte. |
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Wäre es nicht sinnvoller, den Focus auf die Parkettierung zu lenken? In meinem ersten Bild sieht man, dass es beim 7-Eck schwierig wird zu parkettieren |
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Wäre es nicht sinnvoller, den Focus auf die Parkettierung zu lenken? Warum? Wir wissen nicht, worum es der Fragestellerin genau geht und welche Frage sie konkret hat. Sie hatte nur geschrieben "Zuerst muss ich aber mal Beweisen, dass gleichseitige Dreiecke..." und das ist zu respektieren, muss allerdings von ihr noch präzisiert werden. Wenn sie Fragen zur Parkettierung (ein extremst umfangreiches Thema) hat, wird sie die schon stellen. In meinem ersten Bild sieht man, dass es beim 7-Eck schwierig wird zu parkettieren Ich glaube, du bringts da Parkettierung und Packproblem durcheinander. Parkettierung bedeutet, dass es keine freien Stellen und natürlich auch keine Überlappungen gibt. Mit ausschließlich regelmäßigen n-Ecken ist das natürlich nur für möglich. Interessant wirds aber erst bei unregelmäßigen Polygonen M.C.Escher lässt grüßen. books.google.at/books?id=jrg_AwAAQBAJ&pg=PA405&lpg=PA405 www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/1987%20Band%2015/Jank1987.pdf Im Grunde geht es, wenn wir bei Bienenwaben von der "optimalen" (im Bezug worauf?) Form sprechen ja auch nicht um ein ebenes Parkettierungsproblem, sondern um ein räumliches Packproblem und das ist alles andere als trivial. Es soll bei möglichst hoher Packungsdichte ja auch noch der Gesamtwachsverbrauch minimiert werden und eine hohe Stabilität erreicht werden. Schon Johannes Kepler hatte zB beobachtet, dass eine Bienenwabe ein halbes Rhombendodekaeder darstellt. Einer neueren Erkenntnis zufolge soll das aber nicht stimmen, nur eine optische Täuschung sein und der Wabenboden als Halbkugel ausgeformt sein. Siehe: www.scinexx.de/wissen-aktuell-1109-2004-06-30.html Aber selbst wenn wir nur die zweidimensionale Parkettierung betrachten, ist das Problem alles andere als einfach. Es geht sicher nicht bloß darum, zu zeigen, dass ein regelmäßiges n-Eck bei gegebenen Umfang die größte Fläche unter allen möglichen n-Ecken hat. Oder aber eher umgekehrt minimalen Umfang bei gegebenem Flächeninhalt hat. Es geht darum, zu zeigen, dass der Materialverbrauch bei einer Parkettierung mit Sechsecken minimal ist, dass also die Summe aller "Stege", gewissermaßen der Gesamtumfang, minimal ist, die Packungsdichte aber hoch. Der formale Beweis, dass die Sechseckparkettierung das Optimum darstellt, wurde meines Wissens erst vor Jahren von Thomas C. Hale erbracht www.communitycommons.org/wp-content/uploads/bp-attachments/14268/honey.pdf Die Vermutung, dass es sich bei der regelmäßigen Sechseckparkettierung um das Optimum handelt, ist aber über Jahre alt und wurde schon vom griechischen Philosophen Pappus von Alexandria in dessen Aufsatz "Über die Klugheit der Bienen" geäußert. Der Einleitung zu Hale's Beweis zufolge datiert das Problem aber noch deutlich früher. Ich denke allerdings nicht, dass ameliewe seinen Beweis nachvollziehen möchte, aber sie kann ihn ja zitieren. Interessante und doch etwas leichtere Kost zum Thema findet sich zB. hier: http//www.spektrum.de/magazin/die-mathematik-der-bienenwaben/821627 http//www.spektrum.de/magazin/bienenwaben-sind-wirklich-optimal/825845 |
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Wenn die ganze Rechnerei zu viel wird, nehm ich mir Werkzeuge, wie Taschenrechner, Geogebra etc. Bis zum zarten Alter von . musste ich noch Wurzeln schriftlich rechnen. Dann konnte ich mir einen TI mit roten Leuchtziffern aus einem spärlichen stud.Taschengeld leisten. Des weiteren würd ich folgende Literatur empfehlen: de.wikipedia.org/wiki/Schnurrdiburr_oder_Die_Bienen  |
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Wenn die ganze Rechnerei zu viel wird, nehm ich mir Werkzeuge, wie Taschenrechner, Geogebra etc. Ähh, jaaa?? "Rechnerei"? Weder Geogebra noch dein geliebter NSpire werden dir beim Verstehen und Nachvollziehen des Beweises von Hale eine große Hilfe sein, fürchte ich. Ehrlich gesagt kann ich weder in deiner Anmerkung, noch der angefügten Zeichnung oder dem Link im Zusammenhang mit der Frage einen Sinn, Zusammenhang oder Witz erkennen. Ich frage mich daher, ob und was du dir dabei gedacht hast. |
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Ich schreibe meine Seminararbeit über die Form der Bienenwaben und die Tatsache, dass diese ideal ist. Ich habe mich auch schon mit der Parkettierung auseinander gesetzt und bewiesen, dass ein Sechseck am ökonomischsten für den Wabenbau ist. Ich verglich dafür Quadrat, Dreieck und Sechseck miteinander, weil diese Formen, wie schon jemand anmerkte, die einzigen sind, mit denen man parkettieren kann. Dafür verglich ich die drei Formen unter der Bedingung, dass sie den selben Flächeninhalt haben und schloss so auf den Umfang. Jedoch habe ich meinen Beweis unter der Vorraussetzung aufgestellt, dass ich mir jeweils gleichseitige Rechtecke, . Quadrate, gleichseitige Dreiecke und natürlich das sowieso schon regelmäßige Sechseck angesehen habe. Mein Lehrer meinte nun ich müsste der Vollständigkeit halber noch erklären bzw. beweisen, warum ich vorausgesetzt habe, dass . die Dreiecke gleichseitig sind. Deswegen suche ich nun den Beweis, dass gleichseitige Dreicke unter umfanggleichen anderen Dreiecken den größeren Flächeninhalt besitzen. Ich hoffe, ich habe meine Frage dieses Mal zufriedenstellend beschreiben können, ich finde die Wortklauberei ein bisschen schade. Natürlich ist es in der Mathematik wichtig genau zu formulieren, aber der Großteil hat sich sowieso schon gedacht, dass ich umfanggleiche Dreiecke vergleichen möchte. Ich sage auch danke für die vielen anderen Anregungen, aber ich brauche wirklich nur konkret Hilfe für diesen Beweis, den Großteil der Quellen, die hier in den Antworten waren kannte ich schon, da ich mich ja wirklich schon mit der Parkettierung und auch ein wenig mit der Packung auseinander gesetzt habe. Ich wäre wirklich froh, wenn mir jemand einen konkreten Tipp geben kann, wie ich das löse. |
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Hallihalo hier http//www.matheboard.de/archive/19454/thread.html hat mal jemand dein Problem gehabt. Ich versteh es nicht ganz aber Roman hat das schon weiter oben erwähnt und wird dir(uns) das wohl noch genauer erklären. |
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Ich wäre wirklich froh, wenn mir jemand einen konkreten Tipp geben kann, wie ich das löse. Die gewünschten Tipps wurden dir schon gegeben (Heron, entweder asl Extremwertsaufgabe mit 2 Unbekannten oder unter Verwendung einer Eigenschaft von arithm. und geom. Mittelwert), jedoch hast du sie nicht aufgegriffen und bist mit keinem Wort darauf eingegangen. Wir können daher nicht wissen, welche Vorkenntnisse du hast, ob du die erwähnte Eigenschaft der Mittelwerte kennst und ohne Beweis verwenden darfst, ob dir Extremwertsaufgaben mit Funktionen in zwei unabhängigen Variablen ein Begriff sind, ...Ja wir wissen nicht einmal, ob du differenzieren kannst und damit Extremwertaufgaben in nur einer Variablen lösen kannst. Deine Hinweis auf eine Parabel lässt ja den Verdacht aufkommen, dass du das noch nicht kannst und dir Aufgaben, in denen eine Größe möglichst groß oder klein werden soll nur so untergekommen ist, dass die Zielfunktion (zufälligerweise) eine quadratische ist und du mithilfe der Scheitelform der Gleichung das Minimum oder Maximum ermittelst. Es hat ziemlich lange gedauert, bis du endlich damit rausgerückt bist, was genau du tatsächlich beweisen möchtest. Dass damit noch in keinster Weise gezeigt ist, dass die Bienenwabenform optimal in Hinblick auf Materialverbrauch ist, hast du ja vermutlich beim Studium der diversen Quellen bereits erkannt. Das scheint aber auch nicht deine Aufgabe zu sein, das zu beweisen, denn das würde das Schulniveau bei Weitem übersteigen. Du sollst also nur zeigen, dass das gleichseitige Dreieck unter allen möglichen Dreiecken gleichen Umfangs die größte Fläche hat. Aber selbst diese Aufgabe ist nicht so einfach, wenn die mathematischen Grundlagen (und wir kennen deine leider nicht) fehlen. Bei gegebenen Umfang kannst du ja zwei Seiten nahezu beliebig wählen (ihre Summe muss natürlich kleiner als der gegebene Umfang sein) und die dritte Seite ist dann bereits festgelegt. Du kannst also zwei Werte beliebig wählen und dann erst den Flächeninhalt berechnen. Das geht also über die üblichen Extremwertsaufgaben, bei denen man nur eine Größe beliebig wählt und eine andere, die extremal werden soll, daraus bereits berechnen kann, hinaus. Du hattest leider auch nur geschrieben "Ich habe auch schon mehrere ähnlich fragen gefunden, die Vorgehensweise aber leider nie verstanden. Die Maximalwertrechnung, die da manche angewendet haben, hat mich total verwirrt..." und nicht konkret angegeben, was du da gefunden und was dich, und vor allem warum, verwirrt hat. Ohne das zu wissen wird es verdammt schwer für uns, etwas vorzuschlagen, das dich nicht verwirrt. Jedenfalls haben diese deine Bemerkungen so geklungen, als ob dir Grundlagen für einen formal exakten Beweis fehlen würden. Wenn diese Grundlagen tatsächlich fehlen, würde ich dir empfehlen, auf die Empirik umzusteigen. Erstelle ein Geogebra-Blatt mit zwei Schiebereglern für die Seiten a und eines Dreiecks und Geogebra soll die dritte Seite (mithilfe des vorgegebenen Umfangs) berechnen, das Dreieck zeichnen und dessen Flächeninhalt ausgeben. Dann kann man sich mit den Reglern herumspielen und stellt schnell fest, dass die Fläche dann am größten ist, wenn man das Dreieck gleichseitig wählt. Ich weiß nicht, ob eine "Seminararbeit" eine rein schriftliche Sache von Seiten Umfang ist oder ob da auch eine Präsentation vor der Klasse dazu gehört. Für Letzteres würde sich ein Geogebra-Blatt vermutlich gut eignen. |
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Das könnte . so aussehen.Ich habe als Umfang gewählt |
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as könnte . so aussehen. Könnte, sollte aber keinesfalls! Du hast unzulässigerweise die Basisseite fix mit also fest angenommen und damit das vermutetet Ergebnis ja teilweise bereits vorweggenommen. Es müssen zwei Schieberecgker sein! Schließlich handelt es sich um zwei unabhängige Variable, mit denen man herumspielen darf. Alternativ kannst du ja auch den Punkt A im Ursprung fixieren, ist auf der x-Achse verschiebbar und ändert sich entsprechend mit und ist dann nur mehr entlang einer Ellipse mit den Brennpunkten A und verschiebbar. Das wär vermutlich netter als die Sache mit den Schiebereglern. |
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Hallo 1. Schritt: von allen flächengleichen Dreiecken mit fester Grundseite, hat das gleichseitige den kleinsten Umfang: Beweis: zeichne ein gleichseitiges Dreieck in einen Streifen der Höhe mit Grundseite spiegle an der Streifenseite, die durch die Spitze geht, dasselbe mit einem beliebigen anderen Dreieck mit demselben die Summe der Seiten des Gleichschenkligen sind eine Strecke die Summe der 2 anderen bilden damit ein Dreieck, die Seitensumme ist also größer. jetzt musst du nur noch gleichseitige Dreiecke mit Umfang betrachten und am einfachsten wählen, denn beim Vergrößern und verkleinern bleibt ja das Verhältnis erhalten. alle Seiten gleich Fläche (mit Pythagoras) jetzt 2 Seiten um vergrößern, die Grundseite verkleinern so dass bleibt. Fläche mit Pythagoras ausrechnen. wenn maximal ist, dann auch maximal lässt du dir von geogebra zeichnen und siehst, dass bei 0 ein Maximum ist. dasselbe, 2 Seiten um verkleinern, die dritte um vergrößern wieder ausrechnen und plotten . Gruß ledum |
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Ich fürchte du verwechselst im ersten Schritt gleichseitig mit gleichschenkelig! |
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auf dieser Seite muss man nur schieben www.geogebra.org/m/MuVW7N5f |
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auf dieser Seite muss man nur schieben Ja, aber eben mit zwei Reglern. Eigentlich sollte ja ein Regler, zB der für begrenzt sein mit 0 bis und der zweite Regler mit bis damit man keine ungültigen Werte wählen kann. Die Variante, bei der man die Punkte wie oben beschrieben direkt verschieben kann, gefällt mir trotzdem besser. Eine weitere Spielart wäre, den Punkt beliebig verschieben zu lassen (natürlich nur innerhalb eines Kreises mit Radius um A und den Punkt auf der x-Achse entsprechend zu konstruieren. Aber angesichts der Frequenz, mit der ameliewe hier vorbei schaut (der Thread besteht seit Mai!) muss man sich vielleicht nicht gar so viele Gedanken machen. ledum hat ja auf einen netten zweistufigen Beweis hingewiesen, der die Extremwertsaufgabe in zwei Variablen in zwei Stufen mit je nur einer Variablen durchführt. Vielleicht ist der genehm und weniger verwirrend - wir wissen es nicht. |
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Das wäre doch schon überlegenswert |
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Darauf hast du doch schon vorhin verlinkt, ohne dass eine Reaktion erfolgt wäre. Warum nochmals? Wer nicht will, der hat schon! |
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Hallo Ergänzung zu meinem vorigen post dass bei maximal ist kann man auch ohne plotten zeigen und dann ist und damit für alle und man ist fertig ich denke, dass das als Beweis in der Schule geeigneter ist als schieben in geogebra. Gruß ledum |
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Ein Gärtner würde das so "beweisen" Der Mörder ist immer der Gärtner  |
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Hallo Roman danke, es war wirklich gleichschenklig gemein, sonst bräuchte man ja den 2 ten Teil nicht. leider kann man ältere posts nicht verbessern. Gruß ledum |
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Hallo Berichtigung zu meinem post vom Uhr, danke dem Hinweis von Roman: in dem post muss es jeweils gleichschenklig statt gleichseitig heißen. bis Ende Gruß ledum |
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mein Gätnerbeweis war übrigens todernst. Alle sichbaren Dreiecke in der Ellipse haben gleichen Umfang. Und das mit der grössten Höhe die grösste Fläche |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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