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Beweis zur Nullstellensuche bei Polynomdivision

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: allgemeiner Beweis, Nullstellen, polynom

-Selenia- aktiv_icon

22:40 Uhr, 03.03.2015

Hallo, ich wurde heute um Hilfe gebeten und kann, wie ich jetzt feststellen musste, leider nicht helfen. Es geht um die Polynomdivision und deren vorausgehende Nullstellensuche. Ich habe die Aufgabe fotographiert und hoffe mir kann jemand helfen, bei mir ist es einfach zu lange her, ich konnte zwar die Aufgaben

a) - d)

rechnen, aber der darunter stehende Beweis bereitet mir Kopfzerbrechen. Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Polynomdivision

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision

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pleindespoir aktiv_icon

23:38 Uhr, 03.03.2015

Ich würde den Beweis so führen:
Ein Polynom n-ten Grades besitzt n Nullstellen und daher n Linearfaktoren.

x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + a_{n - 3} x^{n - 3} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0} = 0

kann in Linearfaktoren dargestellt werden( xi bezeichnet die Nullstellen):

(x - x_{n}) (x - x_{n - 1}) (x - x_{n - 2}) \dots (x - x_{2}) (x - x_{2}) (x - x_{1}) = 0

ausmultipliziert ergibt sich ein Rattenschwanz (pascalsches Dreieck), dessen Ende zwangsläufig das Produkt der Nullstellen sein muss:

x^{n} + \dots + (- x_{n}) (- x_{n - 1}) (- x_{n - 2}) \dots (- x_{2}) (- x_{2}) (- x_{1}) = 0

Dieses rechte Glied besitzt keinerlei Variable in einer Potenz grösser Null und ist daher das absolute Glied des Polynoms. Es gilt daher:

(- x_{n}) (- x_{n - 1}) (- x_{n - 2}) \dots (- x_{2}) (- x_{2}) (- x_{1}) = a_{0} x^{0} = a_{0}

folglich muss ao durch mindestens eine der Nullstellen teilbar sein (bei ungeraden Polynomgraden reell - bei geraden muss man konjugiert komplexe Lösungspaare suchen, oder in Kauf nehmen, dass man keine reelle Stelle findet).

-Selenia- aktiv_icon

00:28 Uhr, 04.03.2015

Ich habe das sogar eben schon mal gelesen, war mir aber nicht sicher, ob das die antwort ist. Vielen Dank!

michaL aktiv_icon

00:32 Uhr, 04.03.2015

Hallo,

ich finde den in den Unterlagen des Op angedeuteten Beweis besser.
Er braucht nicht, dass das Polynom zerfällt. Er braucht auch nicht die Existenz eines Zerfällungskörpers.

Mfg Michael

-Selenia- aktiv_icon

00:37 Uhr, 04.03.2015

Ich kann aber leider mit diesem angedeuteten Beweis nichts anfangen. Wie könnte man diesen denn fortführen?

pleindespoir aktiv_icon

00:38 Uhr, 04.03.2015

Beweise sind nicht so mein Ding ...
... keine Ahnung, wie das auf dem Arbeitsblatt gewollt ist. Ansatzweise verstehe ich schon wo das hinsoll, aber ich krieg das nicht komplett, dass es passt.

Da viele Wege in die Irre führen ...

Respon

01:10 Uhr, 04.03.2015

Alle

a_{k} \in ℤ

und

x_{1} \in ℤ

Nullstelle

\Rightarrow

a_{n} \cdot x_{1}^{n} + a_{n - 1} \cdot x_{1}^{n - 1} + ... + a_{1} \cdot x_{1} + a_{0} = 0 | - a_{0}

a_{n} \cdot x_{1}^{n} + a_{n - 1} \cdot x_{1}^{n - 1} + ... + a_{1} \cdot x_{1} = - a_{0}

x_{1}

herausheben

x_{1} \cdot [a_{n} \cdot x_{1}^{n - 1} + ... + a_{1}] = - a_{0}

Da in der Klammer ausschließlich ganze Zahlen auftreten ist auch die Summe eine ganze Zahl, nennen wir sie

b \in ℤ

\Rightarrow

x_{1} \cdot b = - a_{0} \Rightarrow x_{1} \cdot (- b) = a_{0} \Rightarrow x_{1} | a_{0}

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