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Funktionsschar/Kurvendiskussion

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Funktionsschar, Kurvendiskussion

 
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hendrik123

hendrik123 aktiv_icon

11:48 Uhr, 23.09.2012

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Aufgabe 1: Gegeben ist die Funktionsschar fk(x)=e^(-x^2+kx)
a) Diskutiere die Funktion fk (Symmetrie, Verhalten im Unendlichen mit Asymptoten, Koordinatenschnitt-, Extrem- und Wendepunkte.
b) Begründe, warum alle Graphen von fk genau einen gemeinsamen Punkt haben.
c) Bestimme eine Gleichung der Kurve, auf der alle Punkte der Graphen liegen.

Aufgabe 2: Gegeben ist die Funktion f durch f(x)=5xe^-x Ihr Graph heißt Gf
a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen Gf in seinem Schnittpunkt mit der x Achse.
b)Zeigen sie, dass die Tangente aus Teilaufgabe a auch Tangente an die Parabel y=5/4x^2+5 ist.
Geben Sie die Koordinaten des Punktes B an, indem die Tangente die Parabel berührt.
Aufgabe 3: a)Der Graph der Funktion f mit f(x)=e^0,5x verläuft stets oberhalb der Geraden y=x. Welcher Punkt des Graphen hat den geringsten Abstand zu dieser Geraden?
b) Bestimme die Parameter a und b der Funktion f mit f(x)=(x^2+ax+b)e^x so, dass ihr Graph die X- Achse bei x=1 berührt, also nicht schneidet.


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Shipwater

Shipwater aktiv_icon

11:54 Uhr, 23.09.2012

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Du hast angekreuzt, dass du einen kompletten Lösungsweg bräuchtest. Allerdings musst du auch den Klammerinhalt beachten: "setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt."
Poste also alle Gedanken, die du dir bisher zu den Aufgaben gemacht hast.
hendrik123

hendrik123 aktiv_icon

12:03 Uhr, 23.09.2012

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Habe mich bisher nur an Aufgabe 1 gewagt und bin bei dem Extrema hengen geblieben.
Keine Symmetrie,f(unendlich)->0 f(-undendlich)->0, Extremstelle bei k/2. Danach kam ich beim Überprüfen, ob ein Minimum bzw. Maximum vorliegt nicht weiter. Mein Fehler liegt wahrscheinlich an der Ableitung. Deswegen wollte ich eine genauere Lösung.
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Shipwater

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12:11 Uhr, 23.09.2012

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Zunächst noch mal eine Frage zur Aufgabenstellung: Ist eine Bedingung an k genannt? Also gilt k oder wird k nur aus einem Teilbereich von gewählt?
Bei der Symmetrie kommt es darauf an, ob ihr nur Achsensymmetrie zur y-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung behandelt oder auch Symmetrie zu beliebigen Achsen/Punkten. Ganz allgemein liegt Achsensymmetrie zu x=k2 vor.
Extremstellenkandidat bei k2 ist richtig. Poste doch mal deine Ableitungen, dann kann ich dir sagen, ob sie richtig sind.
hendrik123

hendrik123 aktiv_icon

12:34 Uhr, 23.09.2012

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Es gilt
Mit Symmetrie sind nur Achsen- und Punktsymmetrie gemeint.
f´(x)=(-2x+k)e^(-x^2+kx)
f``(x)=e^(-x^2+kx) *(-2+(-2x+k)^2)
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Shipwater

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12:48 Uhr, 23.09.2012

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Sieht gut aus. Vereinfacht erhalte ich fk''(x)=e-x2+kx(4x2-4kx+k2-2)
Berechne nun fk''(k2). Dafür ist die nicht ausmultiplizierte Form von dir sogar geschickter.
hendrik123

hendrik123 aktiv_icon

13:07 Uhr, 23.09.2012

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dabei kam ich ja schließlich nicht weiter. Ich hatte dann die Binomische Formel aufgelöst.
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Shipwater

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13:10 Uhr, 23.09.2012

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Das ist nicht notwendig, denn es gilt doch fk''(k2)=eegal(-2+(-2k2+k)2)=eegal(-2+02)=-2eegal<0
hendrik123

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13:14 Uhr, 23.09.2012

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Wieso wird aus -2*k/2+k =0 ?
hendrik123

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13:21 Uhr, 23.09.2012

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Hab es doch verstanden.In der Klammer steht ja letztenlich -k+k
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Shipwater

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13:23 Uhr, 23.09.2012

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Genau.
hendrik123

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13:24 Uhr, 23.09.2012

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Die restlichen Aufgaben hab ich selber gelöst bis auf die 3b, da weiss ich nicht so recht was ich machen soll.
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Shipwater

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13:36 Uhr, 23.09.2012

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Bei 3b) hast du die Bedingungen f(1)=0 und f'(1)=0 weil "berühren" für "gleicher Funktionswert und gleiche Steigung" steht. Wenn man schon ein bisschen mehr über das Thema "Berühren" weiß, dann kann man auch benutzen, dass zweimal der Faktor (x-1) auftreten muss, damit die x-Achse bei x=1 berührt wird. Also du musst a und b so wählen, dass x2+ax+b zu (x-1)2 wird. Ihr sollt aber wahrscheinlich den anderen Ansatz mit f(1)=0 und f'(1)=0 wählen.
hendrik123

hendrik123 aktiv_icon

13:39 Uhr, 23.09.2012

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Danke probier ich jetzt mal aus.
hendrik123

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13:57 Uhr, 23.09.2012

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Ich bekomm für a den Wert 1/2 raus. Bei b jedoch hab ich schwierigkeiten. b=-x^2 -1/2
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Shipwater

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14:05 Uhr, 23.09.2012

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a=-2 und b=1 sollten rauskommen.
hendrik123

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14:17 Uhr, 23.09.2012

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Ich hab zuerst dir Originalfunktion nach b aufgelöst und b=-x^2-a rausbekommen. Das habe ich dann in die Ableitungsfunktion eingesetzt.. 0=2x+ax hatte ich falsch umgeformt habe jetzt auch a = -2 raus.
hendrik123

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14:20 Uhr, 23.09.2012

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Nachdem ich den Wert für a in die Originalfunktion eingegebn hab bekomme ich trotzdem b=2-x^2 heraus.
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Shipwater

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14:52 Uhr, 23.09.2012

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Dann setze dort x=1 ein.
hendrik123

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16:10 Uhr, 23.09.2012

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ok Danke. Nochmal zu Aufgabe 1 b. Ist die Begründung richtig, wenn gefragt wird, ob die Funktionen alle genau einen Punkt gemeinsam haben, da es eine e-Funktion ist
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melanie1

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16:23 Uhr, 23.09.2012

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hallo hendrik, kannst du mir erklären, wie man aufgabe 2 löst ?
ich hab das bei herrn witte am donnerstag nicht verstanden
danke :-)
hendrik123

hendrik123 aktiv_icon

16:36 Uhr, 23.09.2012

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Hey man muss zuerst die Stelle finden an der der Graph die X Achse schneidet. Also Nullstelle. Danach muss man die Steigung des Graphen in dem Punkt ermitteln mit der 1 Ableitung. Dann die beiden Funktionen gleich setzen und dann hat man den xwert für den Punkt.
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Shipwater

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16:59 Uhr, 23.09.2012

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Nein deine Begründung zu 1b) ist nicht richtig. Setze fk1(x)=fk2(x) (mit k1k2) und zeige, dass die Gleichung stets auf x=0 führt.
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hendrik123

hendrik123 aktiv_icon

17:15 Uhr, 23.09.2012

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Ok Danke.
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Shipwater

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20:04 Uhr, 23.09.2012

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Gern geschehen.