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Cosinus Hyperbolicus, stetig

Schüler Ausbildungsstätte,

Tags: Hyperbolicus, Kosinus, stetig

SoNyu

17:04 Uhr, 15.12.2013

Hi,

wenn ich zeigen soll, dass

\cosh (x) := \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})

stetig ist, und ich weiß, dass

e^{x}

und

e^{- x}

stetig sind, dann erübrigt sich doch ein "ausführlicher" beweis, da die Summe stetiger Funktionen wieder stetig ist.

Damit wäre dann direkt klar, dass

\cosh

ebenfalls eine stetige Funktion sein muss.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Additionstheoreme
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

17:07 Uhr, 15.12.2013

Richtig.

SoNyu

17:19 Uhr, 15.12.2013

Danke für die schnelle Antwort.

Aus Übungszwecken hatte ich dennoch einen Epsilon-Delta-Beweis probiert, aber den nicht so wirklich hinbekommen.

\forall ε > 0 \exists δ > 0 : ∣ x - c ∣ < δ \Rightarrow ∣ f (x) - f (c) ∣ < ε

Ohne Einschränkung sei

x \geq c

∣ e^{x} + e^{- x} - (e^{c} + e^{- c}) ∣

Jetzt muss ich ja irgendwie die e-Funktion wegbekommen damit ich |x-c| durch Delta abschätzen kann, da bin ich aber nicht so wirklich weitergekommen.

Weil die e-Funktion ja streng monoton steigt und

e^{- x}

streng monoton fällt, kann ich ja einfach die Basis wegfallen lassen, nicht wahr?

∣ x - x + c - c ∣ = 0 < ε

Könnte man das so einfach machen? Dann "neutralisiert" sich alles und das ja definitiv kleiner als Epsilon, die Wahl von Delta wäre dann überflüssig. Kann ich mir irgendwie nicht vorstellen.

Edit:

Merke gerade, dass man es sich wohl nicht so leicht machen kann, da man den Ausdruck dadurch nur verkleinern würde...

anonymous

17:47 Uhr, 15.12.2013

" Weil die e-Funktion ja streng monoton steigt und e^(−x) streng monoton fällt, kann ich ja einfach die Basis wegfallen lassen, nicht wahr? "

Nein. (Bzw. was meinst du mit "einfach

[...]

wegfallen lassen"? In welche Beziehung soll der Term vor dem Wegfall mit dem Term nach dem Wegfall stehen?)

Beispiel:

3 x - 2 x^{2}

Hier kann ich natürlich

- 2 x^{2}

einfach wegfallen lassen:

3 x

Aber was bringt mir das? Ich hatte

3 x - 2 x^{2}

und nun habe ich

3 x

. Aber was ist die Beziehung?

Ich würde über die Dreiecksungleichung gehen:

| e^{x} + e^{- x} - (e^{c} + e^{- c}) | = | e^{x} - e^{c} + e^{- x} - e^{- c} | \leq | e^{x} - e^{c} | + | e^{- x} - e^{- c} |

Dann kann man die Stetigkeit von

x \mapsto e^{x}

und

x \mapsto e^{- x}

verwenden.
Wenn du diese nicht vorraussetzt würde ich diese extra in einer Nebenrechnung beweisen.

SoNyu

17:53 Uhr, 15.12.2013

Okay, ich werde mir das mal genauer ansehen.

Danke für die Hilfe.

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