Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Cosinussatz

Cosinussatz

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Beweis, Kosinussatz, Vektor

Shepherd aktiv_icon

11:19 Uhr, 24.11.2009

Hallo,
Ich hab mal ne Frage zum Cosinussatz.
Und zwar wenn mal den Cosinussatz mit Hilfe von Vektoren beweisen möchte, kommt man irgendwann zu dieser Aussage:

Vektor $c$ mal Vektor $c =$ Vektor a mal Vektor $a +$ Vektor $b$ mal Vektor $b -$ 2mal Vektor a mal Vektor $b$

und anhand von dieser Aussage kommt man dann auf:

a² $+$ b² -2ab $\cdot cos (γ)$

Meine Frage is jetzt, wie man von
-2mal Vektor a mal Vektor $b$
auf
-2ab $\cdot cos (γ)$
kommt?
Kann das irgendwie net so richtig nachvollziehen..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Astor aktiv_icon

11:30 Uhr, 24.11.2009

Hallo,
das ist nur ein Vergleich.
man vergleicht die Rechnung:
$(\vec{c})^{2} = (\vec{a})^{2} + (\vec{b})^{2} - 2 * \vec{a} \vec{b}$

mit dem Cosinussatz, wie er in der Euklidschen Geometrie hergeleitet ist.

Gruß Astor

anonymous

11:47 Uhr, 24.11.2009

Morgen,

ich versteh nicht ganz, was du meinst. Was soll zB "Vektor c * Vektor c" heißen? Skalarprodukt? Kreuzprodukt?

Ich versuche es mal so zu erklären:

Das Dreieck sei ABC, mit AB=c, CB=a und CA=b (hier ist es wichtig, ob bspw. c=AB oder c=BA. Fertige am besten eine Skizze an, so wie ichs jetzt gewählt habe...)

Also, zu zeigen ist:

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (γ)$

Da du es mit Vektoren beweisen willst, sind hier die Längen der Vektoren gemeint, also: (Die einzelnen Koordinaten der jeweiligen Vektoren seien bspw. bei c: c1, c2 und c3)

${\sqrt{{c_{1}}^{2} + {c_{2}}^{2} + {c_{3}}^{2}}}^{2} = {\sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2}}}^{2} + {\sqrt{{b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2} + {b_{3}}^{2}}}^{2} - 2 | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos (γ)$

(Da sich die hinteren Längen von Vektor a und b gleich wegküren lassen, habe ich diese nicht eingesetzt.) Nun ist:

$\cos (γ) = \frac{\vec{a} * \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$

Setzen wir das ein, erhalten wir (habe die Wurzeln bereits weggelassen, da sie quadriert werden):

${c_{1}}^{2} + {c_{2}}^{2} + {c_{3}}^{2} = {a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2} + {b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2} + {b_{3}}^{2} - 2 | \vec{a} | | \vec{b} | \frac{\vec{a} * \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$

$\Leftrightarrow {c_{1}}^{2} + {c_{2}}^{2} + {c_{3}}^{2} = {a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2} + {b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2} + {b_{3}}^{2} - 2 (\vec{a} * \vec{b})$

Nun kann man den Vektor c durch a und b ausdrücken, da wir ein Dreieck haben. Es ist:

$\vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = (\begin{matrix} \begin{matrix} a_{1} - b_{1} \\ a_{2} - b_{2} \end{matrix} \\ a_{3} - b_{3} \end{matrix})$

Und wenn du jetzt für c1, c2 und c3 die "neuen" Koordinaten einsetzt, das Skalarprodukt hinten ausrechnest und ein bißchen zusammenfasst (mit binomischen Formeln), so kannst du schnell beweisen, dass hier die Wahrheit steht...

So, ich hoffe ich konnte wenigstens helfen, obgleich ich deinen Ansatz nicht ganz nachvollziehen konnte..

Gruß, IP

Shepherd aktiv_icon

12:00 Uhr, 24.11.2009

Danke für eure Hilfe :-)

683907

683896

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?