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Die Integralrechnung bei Kurvenscharen

Schüler Fachgymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Flächeninhalt, Integral, Kurvenschar

BigSmooth23 aktiv_icon

17:43 Uhr, 19.10.2009

Gegeben ist die Funktion ft(x)=-1/2x^4+tx^2

t > 0

x

Element

R

a)

Der Graph der Funktion schließt mit der x-Achse im ersten Quadranten einer Fläche.
Bestimmen Sie die Flächenmaßzahl in Abhängigkeit von

t

b)

Bestimmten Sie

t

so, dass gilt:

A (t) = \frac{32}{15}

(FE)

Hab absolut kp. Weiß nur das man bei

a)

Nullstellen ausrechnen muss und dafür

x^{2}

ausklammern muss.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Astor aktiv_icon

17:51 Uhr, 19.10.2009

Hallo,

f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + t x = x * (- \frac{1}{2} x^{3} + t)

damit ist "x=0" die linke Integartionsgrenze und die positive Nullstelle

x_{p}

der Klammer ist rechte Integrationsgrenze.

Nun also:

\int_{0}^{x_{p}} [- \frac{1}{2} * x^{4} + t * x] d x = - \frac{1}{10} x^{5} + \frac{1}{2} t x^{2}]_{0}^{x_{p}}

Somit hat man die Fläche in Abhängigkeit von t.

BigSmooth23 aktiv_icon

18:01 Uhr, 19.10.2009

Sorry habe die Funktion falsch abgeschrieben

= D

Sie muss heißen:

ft(x)=-1/2x^4+tx^2

Ist auch Oben schon geändert.
Trotzdem schonmal danke für den Ansatz.

pleindespoir aktiv_icon

23:43 Uhr, 19.10.2009

f t (x) = - ½ x^{4} + t x^{2}

substituiere

x^{2} = z

f t (x) = - ½ z^{2} + t z

z ausklammern

f t (x) = z (- ½ z + t)

jeden Faktor für sich untersuchen

z_{1} = 0

0 = - ½ z_{2} + t

½ z_{2} = t

z_{2} = 2 t

Rücksubstitution

x = \sqrt{z}

x_{1, 2} = \pm \sqrt{z_{1}}

x_{1} = 0

x_{2} = 0

x_{3, 4} = \pm \sqrt{z_{2}}

x_{3, 4} = \pm \sqrt{2 t}

x_{3} = + \sqrt{2 t}

x_{4} = - \sqrt{2 t}

Die sinnvollen Grenzen wären also

0; + \sqrt{2 t}

pleindespoir aktiv_icon

00:01 Uhr, 20.10.2009

A = \int_{0}^{\sqrt{2 t}} - ½ x^{4} + t x^{2} d x

A = [- \frac{1}{10} x^{5} + ⅓ t x^{3}]_{0}^{\sqrt{2 t}}

A = - \frac{1}{10} (\sqrt{2 t})^{5} + ⅓ t (\sqrt{2 t})^{3}

A = - \frac{1}{10} (2 t)^{\frac{5}{2}} + ⅓ \cdot t^{\frac{2}{2}} (2 t)^{\frac{3}{2}}

A = - \frac{1}{10} \cdot 2^{\frac{5}{2}} \cdot t^{\frac{5}{2}} + ⅓ \cdot t^{\frac{2}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}} \cdot t^{\frac{3}{2}}

A = - \frac{1}{10} \cdot 2^{\frac{5}{2}} \cdot t^{\frac{5}{2}} + ⅓ \cdot 2^{\frac{3}{2}} \cdot t^{\frac{5}{2}}

A = (- \frac{1}{10} \cdot 2^{\frac{5}{2}} + ⅓ \cdot 2^{\frac{3}{2}}) \cdot t^{\frac{5}{2}}

\frac{A}{- \frac{1}{10} \cdot 2^{\frac{5}{2}} + ⅓ \cdot 2^{\frac{3}{2}}} = t^{\frac{5}{2}}

(\frac{A}{- \frac{1}{10} \cdot 2^{\frac{5}{2}} + ⅓ \cdot 2^{\frac{3}{2}}})^{2} = t^{5}

\frac{A^{2}}{- \frac{1}{100} \cdot 2^{5} + \frac{1}{9} \cdot 2^{3}} = t^{5}

pleindespoir aktiv_icon

00:14 Uhr, 20.10.2009

\frac{(\frac{32}{15})^{2}}{- \frac{1}{100} \cdot 32 + \frac{8}{9}} = t^{5}

\frac{(\frac{32}{15})^{2}}{- \frac{32}{100} + \frac{8}{9}} = t^{5}

\frac{(\frac{32}{15})^{2}}{- \frac{32 \cdot 9}{900} + \frac{800}{900} = t^{5}}

\frac{(\frac{32}{15})^{2}}{\frac{- 288 + 800}{900} = t^{5}}

\frac{(\frac{32}{15})^{2}}{\frac{512}{900} = t^{5}}

\frac{3 2^{2} \cdot 900}{1 5^{2} \cdot 512} = t^{5}

\frac{2^{10} \cdot 900}{1 5^{2} \cdot 2^{9}} = t^{5}

2 \frac{3 0^{2}}{1 5^{2}} = t^{5}

2 \cdot 2^{2} = t^{5}

2^{3} = t^{5}

2^{⅗} = t

DerPicknicker aktiv_icon

00:43 Uhr, 20.10.2009

Ham was dann?

DerLaborant aktiv_icon

14:03 Uhr, 20.10.2009

die Substitution war an dieser Stelle unnötig. Einfach

x^{2}

ausklammern und dann hat man

x_{1} = 0

und

0 = - \frac{1}{2} x^{2} + t

und diese Gleichung hat dann die Lösungen

x_{2} = \sqrt{2 t}

bzw.

x_{3} = - \sqrt{2 t}

Das Integral, das man danach auszurechnen hat, ist dann wirklich alles andere als toll.

pleindespoir aktiv_icon

20:00 Uhr, 20.10.2009

Ich weiss, dass man die Substitution hätte übergehen können. Es ging mir aber darum erstens den allgemeinen Lösungsweg für Gleichungen dieser Art zu beschreiten, damit "Zuleser" auch imstande sind, ähnliche Aufgaben zu lösen, bei denen

x^{2}

nicht so leicht vorzuklammern und dann brav Null ist. Ausserdem ist auf diese Art auch deutlicher, dass bei Null eine doppelte Nullstelle vorliegt, was bei einigen Diskussionsaufgaben erkannt werden muss.

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