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Ein Flugzeug A fliegt von der Position ...(Abstand

Schüler Gymnasium,

Tags: Abstand, Analytische Geometrie, eben, Entfernung, Flugzeug, Gerade, Kreis, Kugel, kürzeste Entfernung, windschiefe Geraden

suppentopf95 aktiv_icon

14:31 Uhr, 31.10.2013

Hey,
ich benötige eure Hilfe bei Mathe

\frac{:}{}

Ein Flugzeug A fliegt von der Position

P 1 (6 | - 2 | 2)

nach

P 2 (- 2 | 2 | 2)

. Ein Flugzeug

B

fliegt von Position

Q 1 (2 | 3 | 1)

nach

Q 2 (- 0,4 | 4 | 2,8)

die Angaben sind in Kilometer!

a)

Bestimmen sie die kürzeste Entfernung der beiden Flugrouten.

Meine Idee: erstmal zwei Geraden aufstellen:

h : (\begin{matrix} 6 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 8 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

g : (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 2,4 \\ 1 \\ 1,8 \end{matrix})

Nun Abstand zweier windschieder Geraden berechnen:

PQ skalar

(\begin{matrix} - 8 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

und PQ skalar

(\begin{matrix} - 2,4 \\ 1 \\ 1,8 \end{matrix})

(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 2,4 \\ 1 \\ 1,8 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) - t \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

[(\begin{matrix} - 4 \\ 5 \\ - 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 2,4 \\ 1 \\ 1,8 \end{matrix}) - t \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})]

skalar

(\begin{matrix} - 8 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

[(\begin{matrix} - 4 \\ 5 \\ - 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 2,4 \\ 1 \\ 1,8 \end{matrix}) - t \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})]

sklaar

(\begin{matrix} - 2,4 \\ 1 \\ 1,8 \end{matrix})

52 + 23,2 s - 40 t = 0

II)

16,4 + 10 s - 11,6 = 0

I)232s-400t=-520
II)-232s+269,12t=380,48

Dann bekomme ich für

t = - 1,066

raus..das Problem ist nur, ich bekomme dann für

s

zwei mal was anderes raus..?! Was ist falsch?

b)

Flugzeug A befindet sich zum selben Zeitpunkt an Position P1,wie Flugzeug

B

Q 1

. Ihre Geschwindigkeit ist gleich.
Wie nah kommen sich die beiden Flugzeuge, wenn sie ihren Kurs beibehalten?

Hier habe ich leider überhaupt keine Idee

\frac{:}{}

c)

An welchem Ort tritt Flugzeug

A

in den Überwachungsraum einer im Punkt

M (0 | 1 | 0)

befindlichen Radarstation ein und wieder aus?

Hier muss ich erst den Radius betrechnen und dann Schnittpunkt von Kreis und Gerade und dann von den beiden Punkten den Abstand! Ist das richtig?

Bitte helft mir! Danke schonmal im vorraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

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prodomo aktiv_icon

16:22 Uhr, 31.10.2013

Da du keine eindeutigen Gleichungen schreibst, ist es schwer, einen Fehler zu suchen. Ein zu beiden Geraden orthogonaler Vektor ist

\vec{n} = (\begin{matrix} 9 \\ 18 \\ 2 \end{matrix})

. Der Abstand ist

2,57

LE (überprüft).
Wahrscheinlich hast du einfach in irgendwelche Formeln aus Formelsammlungen einzusetzen versucht....kann man kaum nachvollziehen.

suppentopf95 aktiv_icon

16:28 Uhr, 31.10.2013

Ich habe eine Formel von meinem Lehrer benutzt...Aber ich rechne das sonst nochmal selber nach! Ist denn das vorgehen also das man bei

a)

Abstand zweier Windschiefer geraden berechnen muss grundsätzlich richtig?

Könntest du mir jetzt dann einen Tipp bei

b

geben, da weiß ich nämlich gar nicht wie das geht..?!

prodomo aktiv_icon

06:59 Uhr, 01.11.2013

Für diese Aufgabenstellung gibt es fertige Formeln in vielen Sammlungen. Den ursprünglichen Ansatz zur Problemlösung sieht man ihnen nicht mehr an, dafür sind sie sehr leistungsfähig. Offenbar ist auch dir die Lösungsidee nicht klar - und das ist das eigentliche Problem.
Mit zwei Stäben (Bleistiften) und einem Gummiband kann man die Situation leicht veranschaulichen. Man streift den Gummiring über beide Stäbe und zieht sie dann windschief verkantet auseinander: das Gummiband rutscht in eine Position, in der es an wenigsten gedehnt ist, es steht zu beiden Stäben senkrecht.
Bei der Rechnung sucht man also zunächst einen Vektor

\vec{n},

der zu den Richtungsvektoren beider Geraden orthogonal ist,

d . h

. sein Skalarprodukt mit beiden muss 0 sein. Aus

(\begin{matrix} - 8 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) \cdot \vec{n} = 0

folgt

n_{2} = 2 \cdot n_{1}

. Das setzt man in das zweite Skalarprodukt ein und bekommt

n_{3} = \frac{2}{9} \cdot n_{1}

. Daher wählt man für

n_{1}

eine gut durch 9 teilbare Zahl und bekommt

z . B

(\begin{matrix} 9 \\ 18 \\ 2 \end{matrix})

. Die Verbindung an der engsten Stelle ist also ein Vielfaches dieses Vektors und andererseits die Verbindung zweier Punkte auf je einer Gerade. Daher gilt

(\begin{matrix} 6 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 8 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) - t \cdot (\begin{matrix} - 2,4 \\ 1 \\ 1,8 \end{matrix}) = r \cdot (\begin{matrix} 9 \\ 18 \\ 2 \end{matrix})

. Die Lösung dieses Gleichungssystems ergibt

r = \frac{52}{409}

. Daraus folgt

| r \cdot \vec{n} | = 2,57

LE.
Die Idee zu

b)

ist sehr ähnlich. Gleicher Startzeitpunkt und gleiche Geschwindigkeit heißt, dass die pro Zeiteinheit zurückgelegten Strecken gleich lang sein müssen. Damit musst du beide Richtungsvektoren auf die gleiche Lämnge bringen und kannst dann für beide den gleichen Parameter

s

(Zahl der Sekunden

o

.ä.) benutzen. Allerdings passen die Längen schlecht zueinander. Dann kannst du den Abstand zweier Positionen ähnlich wie oben als Differenz beider Geradengleichungen errechnen und bekommst einen Vektor, der den Parameter

s

enthält. Sein Betrag muss minimal werden. Da der Betrag eine Wurzel ist, ein Tip: die wird minimal, wenn ihr Inhalt minimal wird. Also den Inhalt nach

s

ableiten und die Ableitung 0 setzen.

suppentopf95 aktiv_icon

11:59 Uhr, 03.11.2013

Aber wie bekomme ich zwei Vektoren gleich lang? Es tut mir leid, aber ich verstehe gar nicht, was ich bei

b

rechnen soll

\frac{:}{}

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