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Eine Brücke und ein Segelschiff

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

Tags: Anwendungsaufgabe, Höhe, Quadratische Funktion, Scheitelpunkt

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12:04 Uhr, 12.03.2023

Die Höhe

h

eines Brückenbogens in Meter über dem Wasserspiegel wird mit der Funktion

h (x) =

-0,0003x²+0,1x modelliert. In welchem Bereich kann ein Segelboot mit einer Masthöhe von

8 m

den Brückenbigen passieren?

Hallo ich bräuchte Hilfe beim Verstehen dieser Aufgabe. Ich hatte schon mal so welche Aufgaben in der Schule doch ich verstehe den Rechenweg nicht mehr genau. Ich habe bei meiner letzten Frage die ich hier gestellt habe auch Bilder hinzugefügt doch irgendwie konnte man diese nicht öffnen, deshalb versuche ich es nochmal und werde 3 Bilder hinzufügen.
1. Aufgabenstellung
2. Was wir mal im Unterricht hatten
3. Wie weit ich schon mit dem Rechnen gekommen bin

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen
Scheitelpunkt bestimmen (ohne quadratische Ergänzung)
Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Beispiele zur quadratischen Ergänzung

Wie findet man die quadratische Ergänzung?

Die Parameter der Scheitelpunktform einer Parabel

Für was stehen die Parameter der Scheitelpunktform einer Parabel?

Funktionsgleichung einer Parabel bestimmen

Wie bestimmt man die Funktionsgleichung einer Parabel?

Quadratische Ergänzung bestimmen

Gibt es einen schnellen Weg die quadratische Ergänzung zu bestimmen?

Scheitelpunkt einer Parabel bestimmen

Wie bestimmt man den Scheitelpunkt einer Parabel?

Verschiebung einer Normalparabel

Was passiert wenn man eine Normalparabel in

x

oder y-Richtung verschiebt?

Was passiert mit dem Schaubild einer Normalparabel wenn man die Funktionsgleichung verändert?

Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Wie bestimmt man die Nullstellen einer quadratischen Funktion?
Wo schneidet eine Parabel die x-Achse?

Zu einer Parabel die Funktionsgleichung bestimmen

Wie bestimmt man zu einer gegebenen Parabel die Funktionsgleichung?

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12:37 Uhr, 12.03.2023

h (x) = - 0,0003 x^{2} + 0,1 x

- \frac{3}{10000} x^{2} + \frac{1}{10} x = 8 | \cdot (- \frac{10000}{3})

x^{2} - \frac{1}{10} \cdot \frac{10000}{3} x = - 8 \cdot \frac{10000}{3}

x^{2} - \frac{1000}{3} x = - \frac{80000}{3}

{(x - \frac{500}{3})}^{2} = - \frac{80000}{3} + {(\frac{500}{3})}^{2} = - \frac{240000}{9} + \frac{250000}{9} = \frac{10000}{9} | \sqrt{}

1 .) x - \frac{500}{3} = \frac{100}{3}

x_{1} = 200

2 .) x - \frac{500}{3} = - \frac{100}{3}

x_{2} = \frac{400}{3}

Das Segelschiff kann im Bereich

\frac{400}{3} \leq x \leq 200

unter der Brücke hindurchfahren.( Da dürfen aber keine Wellen sein)

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12:55 Uhr, 12.03.2023

Wie sind Sie auf auf die

\frac{500}{3}

in der vierten Zeile gekommen?
Könnten Sie es mir bitte erklären und noch die darauffolgenden Schritte?

Respon

13:08 Uhr, 12.03.2023

Prinzipiell geht es um folgende quadratische Gleichung:

- 0,0003 \cdot x^{2} + 0,1 \cdot x = 8

Da gibt es mehrere Methoden

. .

Atlantik aktiv_icon

13:17 Uhr, 12.03.2023

\frac{500}{3}

ist die Hälfte von

\frac{1000}{3}

.
Ich mache mal eine einfache Aufgabe zum Verständnis einer quadratischen Ergänzung, die ich bei deiner Aufgabe verwendet habe.

x^{2} + 5 x - 36 = 0 | + 36

x^{2} + 5 x = 36

{(x + \frac{5}{2})}^{2} = 36 + {(\frac{5}{2})}^{2}

{(x + 2,5)}^{2} = 36 + {(2,5)}^{2}

{(x + 2,5)}^{2} = 36 + 6,25

{(x + 2,5)}^{2} = 42,25 | \sqrt{}

x + 2,5 = \sqrt{42,25}

1 .) x + 2,5 = 6,5

x_{1} = 4

2 .) x + 2,5 = - 6,5

x_{2} = - 9

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14:01 Uhr, 12.03.2023

Aber warum halbiert du es und wieso verschwindet das x? Ich verstehe das nicht.
Und wieso ist auf einmal

\frac{500}{3}

auch auf der anderen Seite?

calc007

16:50 Uhr, 12.03.2023

Das ist die übliche Vorgehensweise zur Lösung einer gemischt-quadratischen Gleichung, im Schüler-Jargon auch "pq-Formel" genannt...

Quadratsepp aktiv_icon

19:28 Uhr, 12.03.2023

Aber warum ergänzt ihr da so umständlich bevor ihr die pq-Formel anwendet?

x^{2} + 5 x

−

36 = 0

lässt sich beretis wunderbarst in die pq-Formel einsetzen, oder steh ich am Schlauch?

Enano

11:59 Uhr, 13.03.2023

>Ich verstehe das nicht.

Das

x

auf der linken Seite der Gleichung kann mit Hilfe der binomischen Formel

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

isoliert werden, wobei

a^{2}

dem

x^{2}

und

2 a b

dem

(\frac{1000}{3}) x

entspricht.

Also:

a^{2} - 2 a b = x^{2} - (\frac{1000}{3}) x

a^{2} = x^{2} \to a = x

2 a b = (\frac{1000}{3}) x = 2 x b

b = (\frac{1000}{3}) \frac{x}{2 x} = \frac{1000}{6} = \frac{500}{3}

Folglich:

a^{2} - 2 a b + b^{2} = x^{2} - (\frac{1000}{3}) x + {(\frac{500}{3})}^{2}

Deshalb steht auf einmal die Hälfte von

\frac{1000}{3},

also

\frac{500}{3}

in Klammern auf der linken Seite, .

Weil auf der linken Seite

{(\frac{500}{3})}^{2}

addiert wurden, muss auch auf der rechten Seite

{(\frac{500}{3})}^{2}

addiert werden, damit der Wert auf beiden Seiten der Gleichung gleich bleibt.

Analog zu

a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}

ist

x^{2} - (\frac{1000}{3}) x + {(\frac{500}{3})}^{2} = {(x - \frac{500}{3})}^{2}

.

>Aber warum ergänzt ihr da so umständlich bevor ihr die pq-Formel anwendet?

Ich

z . B

. bevorzuge die quadratische Ergänzung, weil ich mir die binomischen Formeln bzw. "addiere den halben Faktor von

x

zum Quadrat" besser merken kann, als die pq-Formel oder die Mitternachtsformel. Wenn ich mir eine Formel herleiten kann, mache ich mir nicht die Mühe, sie auswendig zu lernen.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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