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Extrema von Funktionen mit zwei Variablen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Kurvendiskussion, Partielle Ableitung

 
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anonymous

anonymous

16:46 Uhr, 19.02.2019

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"Bestimmen Sie die Koordinaten der relativen Extrema (Geben Sie jeweils an, ob es sich um ein Max/Min handelt) und Sattelpunkte der Funktion."
f(x,y)= 3xy -x3-y3

Mein Lösungsansatz:
fx=y-x2
fy=x-y2
Kritische Punkte bestimmen:
fx=0;fy=0
x0=±y
y0=±x
(y|x);(-y|x);(y|-x);(-y|-x)
Jetzt die Frage, ob an diesen Punkten ein Extremum/Sattelpunkt existiert.
D(x0,y0)=fx,xfy,y-fx,y
fx,x=-2x
fy,y=-2y
fx,y=1
D(x0,y0)=4x0y0-1
1.:D(y|x)=4xy-1>0 Min/Max
2.:D(-y|x)=-4xy-1<0 Sattelpunkt
3.:D(y|-x)=-4xy-1<0 Sattelpunkt
4.:D(-y|-x)=4xy-1>0 Min/Max
Da fx,x<0 ist, ist das Extremum ein Maximum.
Aber wie bestimme ich jetzt die Koordinaten des Sattelpunktes und des Extremums/der Extrema. Ich hab die Funktion geplottet und da gab es ein Maximum bei P1(1|1|1) und ein Sattelpunkt im Ursprung.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

17:10 Uhr, 19.02.2019

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Hallo,
fx=0,fy=0 liefert y=x2 und x=y2,
folglich y=y4y(y3)=0y=0y=1 ...
Nun müsstest du besser vorankommen.
Gruß ermanus
anonymous

anonymous

18:00 Uhr, 19.02.2019

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Bis y=y4 kann ich folgen.
Was hast du hier gemacht:
y=y4y(y3)=0
Kann es sein, dass du sozusagen ein y ausgeklammert hast, um die einzelnen "Nullstellen" (In dem Fall Extrema) zu finden? Wie man das in der Schule bei Polynomfunktionen gemacht hat?
f(x)=x3+x2
f'(x)=0=3x2+2x=x(3x+2)
Das x vor der Klammer wäre hier dann der x-Wert der ersten Nullstelle etc...

y(y3)=0y=0y=1...
Wieso kann ich hier entweder nur 1 oder 0 für y einsetzen? Größere Zahlen würden doch auch gehen. Negative Zahlen gehen ja nicht, da in der Funktion D die Wurzeln sind.
Wo muss die diese y-Werte dann einsetzen, um die x-Werte zu bekommen, in fx oder fy ?:
fx=y-x2 mit y=0 und fx=0x=0 oder
fy=x-y2 mit y=0 und fx=0x=0 Damit hätte ich P1(0,0,0)
fx=y-x2 mit y=1 und fx=0x=1 oder
fy=x-y2 mit y=1 und fx=0x=1 Damit hätte ich P2(1,1,1)
Bezieht sich die Gleichung y(y3)=0 auf die ursprüngliche Funktion f(x,y) oder auf D(x,y)?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

18:04 Uhr, 19.02.2019

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Entschuldigung, ich habe mich verschrieben.
Es sollte natürlich y(y3-1)=0 heißen.
Frage beantwortet
anonymous

anonymous

18:23 Uhr, 19.02.2019

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Jetzt hab ichs verstanden.
1. Beide Partielle Ableitungen bilden
2. Eine Variable eliminieren
3. Die Nullstellen der Ableitung bestimmen: liefert y-Werte
4. In eine der Part. Ableitungen einsetzen: liefert x-Werte
5. In die Urpsrungsfunktion einsetzen: liefert z-Werte
Mit der D-Funktion kann ich herausfinden, ob es sich um einen Sattelpunkt, Minimum oder Maximum handelt.
Danke.

Antwort
godzilla12

godzilla12 aktiv_icon

01:55 Uhr, 20.02.2019

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    fx=3(y-x ² )=0y=x ²     (1a)

    fy=3(x-y ² )=0x=y ²     (1b)


Du schneidest praktisch eine stehende mit einer liegenden Parabel. (1a) einsetzen in (1b)



    x4=xx1=0;    x2=1    (2a)


Dann liefert dir (1a) entsprechend



    y1=0;    y2=1    (2b)



     P_(1;krit) =(00)  ;     P_(2;krit) =(11)    (3)



Und die Hesematrix lautet ( Den ggt =3 lass ich gleich weg )



    H=(-2x11-2y)    (4a)

    HP1=(0110)=S1    (4b)


Hinweis zu (4b) Ihr alle solltet mal in ein QM Lehrbuch schauen und euch die Paulimatrizen zu Gemüte fühen; hier: Paulimatrix S1.
Alle Paulimatrizen haben Eigenwert ±1- solltest du auswändig wissen Sattelpunkt .


    HP2=(-211-2)=S1-21|    (4c)


mit 1|:= Einheitsmatrix.

Der Joke behind se Sing. Da alle Matrizen mit der Einheitsmatrix vertauschen, findest du in H2  (4c)


    E1;2=-2±1;    E1=(-1);    E2=(-3) Maximum     (5)