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Extremstellen bei Parameterfunktion

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Extremstellen, Funktionsschar, Kurvendiskussion, Parameterfunktion

 
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Mathomas

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16:19 Uhr, 08.03.2025

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Hallo liebe Community,
Ich schreibe bald eine Klausur und habe eine Aufgabe gemacht, zu der ich keine Lösung habe, kann mir jemand sagen, ob meine Lösung so passt, bzw. wie man es besser begründen kann?
VG!

(Aufgabe ist aus Lambacher Schweiz für Bayern, neues


AufgabeZuParameterfunktion

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Mathomas

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16:22 Uhr, 08.03.2025

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Habe nämlich das Gefühl, meine Antwort ist nicht "Antwort" genug. Warum ist es unabhängig? Naja weils irrelevant ist...
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Roman-22

Roman-22

16:39 Uhr, 08.03.2025

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In der zweiten Zeile bei der Ableitung steht im Zähler vorne ein falsches Minuszeichen. Die dritte Zeile ist aber wieder in Ordnung.

Im Grunde sollte deine Begründung völlig ausreichend sein. In den Lösungen für kommt der Parameter nicht mehr vor, also sind die Extremstellen unabhängig vom Parameter immer an den Stellen .

Bemängeln könnte man an der Formulierung allenfalls, dass für nicht "die Gleichung gleich Null ist", sondern dass die Werte die Gleichung erfüllen (bzw. dass für der Linksterm der Gleichung Null wird).
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mathadvisor

mathadvisor aktiv_icon

17:24 Uhr, 08.03.2025

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Nein, das reicht so nicht.
Klar ist: Die Nullstellen der Ableitung sind unabhängig von k.
Ob diese Nullstellen auch wirklich Extremstellen sind, ist erstmal nicht klar (dazu wäre Monotonie oder zweite Ableitung zu prüfen).
Man kann aber sagen: Die Extremstellen sind unter den Nullstellen der ersten Ableitung zu finden. Da diese aber unabhängig von k sind, sind es die Extremstellen auch (egal, wie die lauten).
Antwort
Roman-22

Roman-22

18:31 Uhr, 08.03.2025

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Man kann aber sagen: .
Eben, und daher reicht's dann eben doch ;-)
Man hat gezeigt, dass, falls es Extremstellen gibt, diese vom Parameter unabhängig sind.
Die Existenz von Extremstellen zu zeigen oder deren Art zu bestimmen fordert die Aufgabenstellung ja nicht. Und durch die Formulierung "Zeigen Sie, dass die Extremstellen der ..." scheint es legitim, davon auszugehen, dass Extremstellen existieren.
Die Formulierung von Mathomas "Bei . Extremstellen" ist allerdings tatsächlich etwas voreilig und unbewiesen, das stimmt. Sie sagt ja auch mehr aus als verlangt ist.
Dass tatsächlich an beiden Stellen ein Extremum vorliegt ließe sich hier auch leicht mit Monotonie und Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung bei nachweisen.

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mathadvisor

mathadvisor aktiv_icon

18:37 Uhr, 08.03.2025

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Mit Begründung reicht es, ohne eben nicht. So einfach ist das.
Und "scheint legitim" ist kein seriöses Argument, ist ja Interpretationssache.
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HAL9000

HAL9000

18:42 Uhr, 08.03.2025

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Ist , so ist im Fall genau dann Extremstelle der Funktion , sofern auch Extremstelle von ist. Diese Aussage gilt sowohl für lokale als auch globale Extremstellen beider Funktionen.

P.S.: Man muss für diese Aussage nicht mal Stetigkeit, geschweige denn Differenzierbarkeit von fordern! D.h., diese Aussage gilt für alle reellen Funktionen , u.a. auch für .

Antwort
abakus

abakus

20:53 Uhr, 08.03.2025

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Auch wenn es für die Unabhängigkeit von k irrelevant ist:
Warum sagt niemand dem Fragesteller, dass seine Umformung (im Zähler) grottenfalsch ist?
-kx²+4k-2kx² ist NICHT k(-x²+4).

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mathadvisor

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20:58 Uhr, 08.03.2025

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Antwort von Roman-22 nicht gelesen?
Frage beantwortet
Mathomas

Mathomas aktiv_icon

11:53 Uhr, 09.03.2025

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Das Minus hat sich in die zweite Zeile eingeschlichen, weil ich es, um es fürs Forum digital zu haben, falsch von meinem Blatt abgeschrieben habe, sollte in der nächsten Zeile wieder passen. Aber danke soweit!
Antwort
KL700

KL700 aktiv_icon

13:01 Uhr, 09.03.2025

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Auf dieser Seite findest du einen Rechner mit Rechenweg zur Kontrolle:

www.ableitungsrechner.net