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Extremstellen einer Wurzelfunktion

Schüler , 13. Klassenstufe

Tags: Extremstellen, Nullstellen, Wurzelfunktion, x-werte errechnen

countingstars aktiv_icon

18:10 Uhr, 31.05.2009

Hallo,
ich habe die Ableitung von der Wurzelfunktion

\frac{1}{4} x \cdot

Wurzel aus 25-x²

gebildet und will daraus nun die Extremstellen berechnen.

0 = \frac{1}{4} \cdot

WUrzel aus 25-x²

+ \frac{1}{4} x \cdot

(-x)*(25-x²)^-1/2

Normalerweise kann ich die Wurzel ja wegbekommen indem ich quadriere, aber das bringt mir ja bei dieser Funktion nicht viel, weil der letzte Teil ja nicht

^\frac{1}{2}

sondern

^\frac{- 1}{2}

ist.
Wie komme ich jetzt weiter?

Ich bin für jede Hilfe dankbar.

Liebe Grüße

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Wurzelfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
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Nullstellen bestimmen
Polynomdivision

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Timmey aktiv_icon

18:20 Uhr, 31.05.2009

also ich hab den term mal mit

\sqrt{25 - x^{2}}

multipliziert (nachdem die

\frac{1}{4}

wegdividiert sind). da rechts null steht, ändert sich nichts. wenn du das links dann ausmultiplizierst fallen alle wurzeln raus und es bleibt ne simple quadrat. gleichung über. habs mit dem zeichenprogramm dieser seite überprüft und es scheint zu funktionieren :-)

übrigens ist

x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}

DK2ZA aktiv_icon

18:21 Uhr, 31.05.2009

f (x) = \frac{1}{4} \cdot x \cdot \sqrt{25 - x^{2}}

f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{25 - x^{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2}}{\sqrt{25 - x^{2}}}

Gleich Null setzen:

0 = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{25 - x^{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2}}{\sqrt{25 - x^{2}}}

0 = \sqrt{25 - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{25 - x^{2}}}

Beide Seiten der Gleichung mit

\sqrt{25 - x^{2}}

multiplizieren:

0 = 25 - x^{2} - x^{2}

2 \cdot x^{2} = 25

x^{2} = \frac{25}{2}

x_{1} = \frac{5}{\sqrt{2}} \approx 3,5355

x_{2} = - \frac{5}{\sqrt{2}} \approx - 3,5355

Siehe Bild

GRUSS, DK2ZA

Timmey aktiv_icon

18:22 Uhr, 31.05.2009

mh das is natürlich noch einfacher...manchmal sieht man den wald vor lauter bäumen nicht :-D)

countingstars aktiv_icon

19:10 Uhr, 31.05.2009

Hallo,

vielen Dank schonmal für die Antworten... ohje, ich kann mit Brüchen meistens nicht viel anfangen. Was passiert denn wenn ich bei diesem Schritt:

0 =

Wurzel 25-x²- x²/Wurzel aus

25 -

x²

beide Seiten quadiere?

Links fällt die Wurzel weg, aber was passiert nach dem Minus?

Liebe Grüße

pleindespoir aktiv_icon

02:38 Uhr, 01.06.2009

y = \frac{1}{4} x \cdot \sqrt{25 - x ²}

(u v) ʹ = u v ʹ + u ʹ v

u = \frac{1}{4} x

u ʹ = \frac{1}{4}

v = \sqrt{25 - x ²}

(g (h (x)) ʹ = g ʹ (h) \cdot h ʹ (x)

v = (g (h (x)) = \sqrt{25 - x ²}

h (x) = 25 - x ²

h ʹ (x) = - 2 x

g (h) = \sqrt{h}

g (h) = h^{\frac{1}{2}}

g ʹ (h) = \frac{1}{2} \cdot h^{- \frac{1}{2}}

g ʹ (h) = \frac{1}{2 \sqrt{h}}

v ʹ = \frac{1}{2 \sqrt{h}} \cdot (- 2 x)

v ʹ = \frac{- x}{\sqrt{25 - x ²}}

y ʹ = \frac{1}{4} x \cdot \frac{- x}{\sqrt{25 - x ²}} + \frac{1}{4} \cdot \sqrt{25 - x ²}

pleindespoir aktiv_icon

02:55 Uhr, 01.06.2009

y ʹ = \frac{1}{4} x \cdot \frac{- x}{\sqrt{25 - x ²}} + \frac{1}{4} \cdot \sqrt{25 - x ²}

y ʹ = \frac{1}{4} \cdot (\frac{- x^{2}}{\sqrt{25 - x ²}} + \sqrt{25 - x ²})

y ʹ = \frac{1}{4} \cdot (\frac{- x^{2}}{\sqrt{25 - x ²}} \cdot \frac{\sqrt{25 - x ²}}{\sqrt{25 - x ²}} + \sqrt{25 - x ²})

y ʹ = \frac{1}{4} \cdot (\frac{- x^{2} \sqrt{25 - x ²}}{25 - x ²} + \sqrt{25 - x ²})

y ʹ = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{25 - x ²} \cdot (\frac{- x^{2}}{25 - x ²} + 1)

y ʹ = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{25 - x ²} \cdot (\frac{- x^{2}}{25 - x ²} + \frac{25 - x ²}{25 - x ²})

y ʹ = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{25 - x ²} \cdot (\frac{x^{2}}{x ² - 25} + \frac{x ² - 25}{x ² - 25})

y ʹ = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{25 - x ²} \cdot (\frac{x ² + x ² - 25}{x ² - 25})

y ʹ = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{25 - x ²} \cdot (\frac{2 x ² - 25}{x ² - 25})

pleindespoir aktiv_icon

03:09 Uhr, 01.06.2009

y ʹ = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{25 - x ²} \cdot (\frac{2 x ² - 25}{x ² - 25})

Die Nullstellen dazu:

0 = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{25 - x ²} \cdot (\frac{2 x ² - 25}{x ² - 25})

Um das produkt Null werden zu lassen, genügt es einen der Faktoren Null werden zu lassen:

0 = \sqrt{25 - x ²}

x_{1} = 5

x_{2} = - 5

aber zu früh gefreut!
Diese Werte fliegen aus dem Definitionsbereich, weil dadurch der Nenner im anderen Faktor Null wird.
Also weitersuchen:

0 = \frac{2 x ² - 25}{x ² - 25}

Nenner weglassen nach Defininitionsmengenbetrachtung

0 = 2 x ² - 25

x ² = \frac{25}{2}

x_{3, 4} = \pm \sqrt{\frac{25}{2}}

x_{3} = \frac{5}{2} \sqrt{2}

x_{4} = - \frac{5}{2} \sqrt{2}

pleindespoir aktiv_icon

03:19 Uhr, 01.06.2009

Schaun wir mal graphisch ob es stimmt:

pleindespoir aktiv_icon

03:22 Uhr, 01.06.2009

*hops*

*froi*

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