 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Fläche von Kurvenschar berechnen
Fläche von Kurvenschar berechnen
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: Integral, Kurvenschar, Parameter
 
|
  |
|---|
|
Hallo, wir nehmen gerade parametrisierte Kurvenscharen durch. Aus reiner Neugierde habe ich folgende Frage : Wie berechne ich den Inhalt der Fläche, die von den unterschiedlichen Kurven auf dem Intervall gebildet wird? Mein Lehrer konnte mir da nicht weiterhelfen. Er sagte : "Diese Frage hat mir in zehn Jahren niemand gestellt". Mein Ansatz ist : Sei gegeben mit Parameter t und Variable x Das heisst : Ich betrachte für jede Stelle Maximum und Minimum von und bilde das Integral über die Differenz. Gibt es da eine elegantere Methode? Beispiel : mit G Makai  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff) Flächenberechnung durch Integrieren Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff) |
|
 |
|
Hallo wenn du die Fläche unter einer Kurve berechnen willst dann einfach ein einsetzen, du kannst auch einfach mit im Integral rechnen. Wenn du die Fläche zwischen und berechnet willst einfach die Differenz der 2 Kurven integrieren. wenn sich die Kurven schneiden musst du von Schnittpunkt zu Schnittpunktrechnen und jeweils den Betrag des Integrals nehmen. theoretisch hast du mit dem und recht, aber das kannst du nicht so leicht finden, also kann man nicht so rechnen wenn du obiges zwischen 1 und 4 rechnest hast du . keine Schnittstellen und es ist einfach. Gruß ledum |
 |
|
Hey ledum, auf die Ideen bin ich auch gekommen. Ich dachte halt, es gäbe eine geeignete Methode, die Fläche zu bestimmen. Wenn ich im Beispiel die Fläche zwischen und berechnen will, reicht es ja aus die Fläche zwischen und zu berechnen, weil und im Intervall [1,4] den "Rand-Kurven" entsprechen. Aber was ist, wenn ich das Beispiel dahingehend modifiziere, dass mit ? Da muss ich ja auch erst mal diejenigen 's finden, für die minimal bzw. maximal wird. Das Minimum ist gegeben für , das Maximum für . Die Differenz der "Rand-Kurven" wäre hier . G Makai |
|
|
|
Wie ledum schon klar stellte bedeutet eine kompakte Schreibweise noch lange nicht, dass die Sache auch für eine konkrete Aufgabe berechenbar ist. Für eine bestimmte Aufgabe wirst du also immer zwei oder auch mehrere deiner Scharkurven zum bringen müssen, und das ist elementar oft nicht möglich. Auch bei deinem Beispiel müsste man bereits numerische Näherungsverfahren zu Rate ziehen, wollte man zB die von den Scharkurven umhüllte Fläche im Bereich von bis berechnen. Zwar verhalten sich deine Kurven höchst anständig und brav, sodass wir letztlich nur mit und zu tun haben, aber den Schnitt der beiden (denn dort müssen wir das Integral aufteilen bzw. änder sich dort dein bzw- muss man wohl numerisch ermitteln . Interessanterweise stellst sich links und rechts von haargenau die gleiche Fläche ein . Aber was ist, wenn ich das Beispiel dahingehend modifiziere, Auch wenn du wählst, hats du mit und die Randkurven. Siehe zweites Bild. Aber das müsste nicht so sein und wird auch bei anderen Beispielen nicht so sein. Es kann durchaus sein, dass im gewünschten Intervall die Ränder von einer Vielzahl von verschiedenen Scharkurven gebildet wird. Jede Aufgabe dieser Art muss also individuell untersucht werden und das ist . nicht immer ganz einfach.   |
|
|
|
Ich bemerke erst jetzt, dass du in deinem Beispiel zuletzt nicht nur das Intervall für sondern auch die Funktionsgleichung verändert hast. Ich habe nun meinerseits deine Angabe so geändert, dass ich nur das erste durch ein ersetze und ebenfalls wähle. Damit ist so eine Situation geschaffen, bei der eine Unzahl von Scharkurven die Berandung bilden. Die Kurven für und bilden jetzt keineswegs überall das Minimum - sieh dir in beigefügter Zeichnung den Bereich links von ca. an. Und das Maximum wird großteils abwechselnd von unterschiedlichen Scharkurven für meist nur infinitesimal kleine Abschnitte gebildet. Für manche Schargleichungen ist es möglich, diese sogenannten Hüllkurven mithilfe der Infinitesimalrechnung zu bestimmen, meist wird das aber praktisch nicht möglich sein. Hier helfen dann nur mehr numerische Ansätze um zu einer Lösung zu kommen. Das Ergebnis wie im angehängten Bild, dass die Fläche im Bereich von bis ca FE beträgt möchte ich jedenfalls nicht manuell ermitteln müssen ;-)  |
|
|
|
Hallo Roman, die Werte im ersten Post kann ich nachvollziehen. habe ich mit Newton berechnen können. Die Flächen und sind ebenfalls mit Computersoftware einfach zu berechnen. Dass links und rechts von die gleiche Fläche herauskommt, ist natürlich voll beabsichtigt ;-) > Und das Maximum wird großteils abwechselnd von > unterschiedlichen Scharkurven für meist nur > infinitesimal kleine Abschnitte gebildet. Das ist ein interessantes Verhalten. Wie kommst Du auf die FE im zweiten Post? Hat Deine Software Dir das verraten? Ich finde das faszinierend, denn ich dachte, dass die Software nicht in der Lage wäre, die Fläche zwischen und zu bestimmen. Was bedeuten die Vektorpfeile über ? > Für manche Schargleichungen ist es möglich, diese > sogenannten Hüllkurven mithilfe der Infinitesimal- > rechnung zu bestimmen, meist wird das aber praktisch > nicht möglich sein. Schade. > Hier helfen dann nur mehr numerische Ansätze um > zu einer Lösung zu kommen. Na gut. Aber das ist ja häufig so in der Mathematik. > Das Ergebnis wie im angehängten Bild, dass die Fläche > im Bereich von x=0 bis x=4 ca 14,64 FE beträgt möchte > ich jedenfalls nicht manuell ermitteln müssen ;-) Geht mir genau so :-) G Makai |
|
|
|
Das ist ein interessantes Verhalten. Ja, das ist im Grunde das, worum es bei Hüllkurven geht. Du kennst vielleicht Fadenspannbilder duckduckgo.com/?q=Fadenspannbilder). Dabei werden zwischen Näglereihen Fäden gespannt und diese hüllen eine Parabel ein. Jede Fadenstrecke berührt diese Hüllkurve nur in einem Punkt (also nur entlang eines infinitesimal kleinen Stücks), ist dort also Tangente. Ähnlich ist es stellenweise auch bei obigen Beispiel, nur sind die einzelnen Kurven keine einfachen Geraden und manchmal ist da eben eine der Kurven ein ganzes Stück lang Grenze. Wie kommst Du auf die FE im zweiten Post? Hat Deine Software Dir das verraten? Ja natürlich. Was du im Bild siehst ist die Art und Weise, wie man in diesem Programm arbeitet - man schreibt irgendwo was hin und es wird berechnet. Die sind also nicht a la Formeleditor getippt sondern direkt das Ergebnis der numerischen Berechnung. ich dachte, dass die Software nicht in der Lage wäre, die Fläche zwischen und zu bestimmen. Warum sollte sie das nicht? Nicht vergessen, es geht hier um numerische Verfahren, also nur Näherungen, keine symbolischen Berechnungen. Viel mehr, als das, was du in dem Bild siehst, muss man da auch nicht eintippen. Was du nichts siehst ist, dass weiter oben als Vektor von vl (?nicht sicher, wie viele ich genommen hatte - die Datei gibts nicht mehr) im Bereich von und 1 definiert wurde. berechnet nun für einen festen Wert für jeden dieser t-Werte den Funktionswert und bildet daraus ebenfalls einen Vektor mit Elementen. Und davon wird eben per bzw. (dachte dabei an o_ben und u_nten) das der größte bzw. kleinste Wert gewählt. Wie gesagt, nur eine numerische Näherung. Was bedeuten die Vektorpfeile über ? Das hat mit der verwendeten Software zu tun und nennt sich Vektorisierung. Es soll sicherstellen, dass mit dem Vektor nicht irrtümlich Vektoroperationen durchgeführt werden, sondern die Funktion für jeden einzelnen Wert von berechnet und die Ergebnisse in einem neuen Vektor aufgesammelt werden. So wie die Funktion definiert ist, wäre das gar nicht nötig gewesen. War einfach Gewohnheit bzw. zur Sicherheit. Das wars aber auch schon - mehr ist nicht versteckt (mit Ausnahme einer Neudefinition von für die Zeichnung, damit nicht so viele Scharkurven gezeichnet werden). Schade. Du kannst dich ja, wenn es dich interessiert, bzgl. der Ermittlung von Hüllkurven von Kurvenscharen schlau machen. Die oben angesprochene Parabel als Hüllkurven ihrer Tangenten sollte sich analytisch relativ einfach exakt herleiten lassen und ist sicher in der Literatur ein gängiges Beispiel. Na gut. Aber das ist ja häufig so in der Mathematik. Vor allem in der "every day" Angewandten Mathematik. Ein gutes Beispiel sind Differentialgleichungen. Der Mathematiker hat eine Vielzahl von Typen und Lösungstricks für diese parat. Aber wenns zB darum geht, herauszufinden, warum eine Rolltreppe vibriert und welchem Rädchen man drehen sollte, um das zu vermeiden, dann helfen nur numerische Verfahren. |
 |
|
Hallo Roman, vielen Dank für Deine guten und ausführlichen Antworten. Sie haben mir ziemlich geholfen. Ich werde mich mal an der Erstellung einer Hüllfunktion für Parabeln versuchen. G Makai |
1320774
1320627