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Funktion 3 Grades bestimmen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Funktion 3. Grades, Kurvendiskussion, Nullstell

Meier24er aktiv_icon

17:18 Uhr, 10.12.2016

Hallo :-)
Ich soll die Funktion 3 Grades aus einem Text heraus bestimmen. In diesem Text wird aber nur gesagt, dass der Graph die x-Achse bei

- 3

und bei 9 berührt und die y-Achse bei

81

schneidet.

Mein Ansatz war jetzt:

(x + 3) \cdot (x - 9) \cdot (x - 81)

<-das hier dann ausmultiplizieren?

Ich weiß einfach nicht weiter, irgendwo steckt der Wurm:(

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Stephan4

17:35 Uhr, 10.12.2016

Du hast eine Funktion dritten Grades aufgestellt, die die x-Achse schneidet bei

x = - 3, 9

und

81

Eine Funktion dritten Grades, die die x-Achse an zwei verschiedenen Stellen berührt, gibt es nicht.

Deine Aufgabe ist nicht lösbar.

:-)

Atlantik aktiv_icon

17:37 Uhr, 10.12.2016

Den Bedingungen nach ist es eine Funktion 4. Grades:

Berührung bei

x = - 3 \to {(x + 3)}^{2}

Berührung bei

x = 9 \to {(x - 9)}^{2}

f_{a} (x) = a \cdot {(x + 3)}^{2} {(x - 9)}^{2}

P (0 | 81)

f_{a} (0) = a \cdot {(0 + 3)}^{2} {(0 - 9)}^{2}

a \cdot 9 \cdot 81 = 81 \to a = \frac{1}{9}

f (x) = \frac{1}{9} \cdot {(x + 3)}^{2} \cdot {(x - 9)}^{2}

mfG

Atlantik

G r a p h :

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18:06 Uhr, 10.12.2016

Wenn du dich verschrieben haben solltest und 4.Grad gemeint ist, gilt:

f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e

f (- 3) = 0

f' (- 3) = 0

f (9) = 0

f' (9) = 0

f (0) = 81

Atlantiks Ansatz ist eleganter.

Meier24er aktiv_icon

18:31 Uhr, 10.12.2016

Die genaue Aufgabenstellung : Gesucht ist die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph die x-achse bei 9 berührt sowie die x-achse ein weiteres mal bei

- 3

und die y-achse bei

81

schneidet.

lg

anonymous

18:46 Uhr, 10.12.2016

. .

. also soll die Funktion die x-Achse nur bei

x = 9

berühren (und selbige bei

x = - 3

schneiden) - ergo ist die Aufgabe mit einer Funktion dritten Grades lösbar.

Es ist eine klassische Steckbriefaufgabe, die in der Schule so gelöst wird, wie Supporters Ansatz es vorgibt - nur jetzt eben als Funktion dritten Grades..

Das Wort "berührt" ist eine kleine Falle: Damit Achsen nur berührt - und nicht echt geschnitten - werden, muss an besagter Stelle ein Extrempunkt sein.

Also ist (mit Berührung bei

x = 9)

nicht nur

f (9) = 0

eine Bedingung, sondern eben auch

f' (9) = 0,

da die Achse sonst durchstoßen werden würde..

Nun soll bei

x = - 3

nicht berührt werden (das ginge mit einer Funktion dritten Grades auch nicht gleichzeitig,

s

.oben), also ist Supporters Bedingung

f' (- 3) = 0

nun hinfällig.

PS: Bei angegebenen Nullstellen kann man sich meist viel Arbeit sparen, indem man die zugehörigen Polynome sofort benutzt, siehe dazu Atlantiks eleganteren Ansatz.

PPS: Wenn Du das machst, kannst Du Dir auch merken: "Berührungen" gehen nur bei doppelten Nullstellen, ergo

{(x - 9)}^{2}

statt

(x - 9) -

bei letzterem würde die x-Achse wieder durchstoßen werden..

Grüße

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18:49 Uhr, 10.12.2016

Dann gilt:

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

f (9) = 0

f' (9) = 0

f (3) = 0

f (0) = 81

Damit kannst du die 4 notwendigen bedingungen aufstellen.

Meier24er aktiv_icon

18:59 Uhr, 10.12.2016

danke, ich habe jetzt das folgende gleichungsystem:

728 | 1 | 9 = 0

243 | 18 | 1 = 0

- 27 | 9 | 3 = 0

Das kann ich irgendwie nicht nach Gauß umformen?

Atlantik aktiv_icon

19:03 Uhr, 10.12.2016

Berühren bei

x = 9 \to {(x - 9)}^{2}

Schneiden bei

x = - 3 \to (x + 3)

f_{a} (x) = a \cdot {(x - 9)}^{2} \cdot (x + 3)

a berechnen mit

P (0 | 81)

. .

.

mfG

Atlantik

anonymous

19:04 Uhr, 10.12.2016

f (0) = 81 \to d = 81

f (9) = 0 \to 729 a + 81 b + 9 c + 81 = 0

f' (9) = 0 \to 243 a + 18 b + c = 0

f (- 3) = 0 \to - 27 a + 9 b - 3 c + 81 = 0

du hast

d = 81

irgendwie teilweise weggelassen (und Dich ab und an verrechnet, etwa

728

in Zeile

1)

.

Ich denke mal, das reicht schon, denn dein LGS liefert

a = b = c = 0 -

war das Dein Problem?

Grüße

edit: Oder wie gesagt Atlantiks Weg benutzen.. Leider wird in der Schule aber meist nur das Standardrezept via LGS erklärt..

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19:06 Uhr, 10.12.2016

Ich arbeite immer mit dem ausführlicheren Additionsverfahren.

Hier ein Rechner zur Kontrolle:
http//www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm

Stephan4

21:26 Uhr, 10.12.2016

Zum Vergleich für Deine Berechnungen ist ist dieser Rechner

http//www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

geeignet. Er liefert die gewünschten Gleichungssysteme und die Lösung dazu.

:-)

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