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Funktion 7 Grades; Vielfachheit der Nullstellen
Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Nullstellen, Vielfachheit
 
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Ich habe eine Funktion 7. Grades und eine Nullstelle gegeben. Kann ich von dieser Nullstelle die Vielfachheit herausbekommen, indem ich sie in die 1,2,3te Ableitung einsetze? Gibt es eine andere Lösungsmöglichkeit? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff) Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff) Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten Allgemeine Sinusfunktion Nullstellen Nullstellen bestimmen Polynomdivision Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten Allgemeine Sinusfunktion Nullstellen Nullstellen bestimmen |
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Ich glaub nicht. Aber wenn du schon eine Nullstelle hast dann, mach mal die Polynomdivision, dann kommst du auch zu den anderen sechs Nullstellen. Hoffe ich :-D) |
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wie heißt denn die Funktion und welche Nullstelle hast du? |
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Hallo,
"Kann ich von dieser Nullstelle die Vielfachheit herausbekommen, indem ich sie in die 1,2,3te Ableitung einsetze?" Klares ja! Natürlich stimmt es, dass man mittels Polynomdivision so lange dividieren kann, bis die Division nicht mehr glatt aufgeht, aber wenn man einmal die Ableitungen hat (bzw. sie einfach gewonnen hat), dann kann man damit auch die Vielfachheit bestimmen. Sei ein Polynom vom Grade und eine Nullstelle von der Vielfachheit dann gibt es ein Polynom dessen Nullstellen alle verschieden von sind, für das gilt: Da kann man die ersten Ableitungen bilden: Der Term in der ersten Klammer ist definitiv nicht durch teilbar (der zweite Summand ist es, damit es die Summe ist, müsste es der erste Summand auch sein, ist es aber nicht!), . ist keine Nullstelle dieses Terms. Mit anderen Worten: hat ebenfalls die Nullstelle allerdings mit genau einer Vielfachheit weniger! Das taugt als Induktionsanfang, im Induktionsschritt zeigt man analog, dass die (k+1)-te Ableitung die Nullstelle hat mit einer um genau 1 geringeren Vielfachheit als die k-te Ableitung (dabei lässt man bewusst die Vielfachheit 0 zu, die bedeutet, dass keine Nullstelle ist!). Die Vielfachheit der Nullstelle in der k-ten Ableitung ist demzufolge . Mit anderen Worten: In der m-ten Ableitung ist die Vielfachheit Null, . in der Funktion selbst und in den ersten Ableitungen ist Nullstelle, in der m-ten Ableitung selbst nicht. |
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Ok, Frage geklärt. Danke! |
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