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Funktion Rechteck mit größtem Flächeninhalt

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen,

Tags: Flächeninhalt, Integral, Rechteck, rotieren, volum

KaiserKarl1887 aktiv_icon

19:35 Uhr, 21.04.2014

Gegeben sind die Funktionen

f (x) = \frac{1}{3} \cdot (12 - x^{2})

und

g (x) = \frac{1}{6} \cdot (x^{2} - 12)

. Dem von den beiden Kurven begrenzten Flächenstück ist ein achsenparalleles Rechteck mit größtem Flächeninhalt einzuschreiben. Berechne die Abmessung dieses Rechtecks und beweise auch, dass es sich dabei um ein Maximum handelt.

Zunächst glaube ich, dass es von Vorteil wäre die Schnittpunkte beider Funktionen zu berechnen:

4 - \frac{x^{2}}{3} = \frac{x^{2}}{6} - 2

24 - 2 x^{2} = x^{2} - 12

3 x^{2} = 36

x^{2} = 12

x = \pm \sqrt{12}

Ich weiß nun, dass der Zusammenhang zwischen den Werten beiden Graphen jener ist:
bei

f (x) : (x; 4 - \frac{x^{2}}{3})

und bei

g (x) : (x; \frac{x^{2}}{6} - 2)

Doch ich weiß jetzt nicht, wie ich mir jenes Rechtecks mit "maximalem Flächeninhalt" herleiten kann. Ich weiß nur das das Rechteck zwischen

\pm \sqrt{12}

liegen muss und dass die Formel für den Flächeninhalt beim Rechteck

A = a \cdot b

ist, doch um mir die Seitenlängen zu berechnen benötige ich die Eckpunkte und ich weiß nun nicht, wie ich die herleiten kann. Ich bitte daher um eure Hilfe und ich danke euch bereits jetzt dafür.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Edddi aktiv_icon

20:18 Uhr, 21.04.2014

. .

. auf Grund der Symmetrie brauchst du nur den positiven Bereich beachten.

Nehmen wir also ein

x

mit

0 < x < \sqrt{12}

. Die Höhe des Rechtecks ist dann

g (x) - f (x)

und die Fläche somit

A (x) = x \cdot (g (x) - f (x))

Nun such das Maximum im oben genannten Intervall.

:-)

KaiserKarl1887 aktiv_icon

21:06 Uhr, 21.04.2014

Ich glaube, ich verstehe nicht, was du meinst:

A (x) = x \cdot (g (x) - f (x))

\Rightarrow A (x) = x \cdot (\frac{x^{2}}{6} - 2 - (4 - \frac{x^{2}}{3}))

= x \cdot (\frac{x^{2}}{6} - 2 - 4 + \frac{x^{2}}{3})

= \frac{x^{3}}{6} - 2 x - 4 x + \frac{x^{3}}{3}

\*6

x^{3} - 12 x - 24 x + 2 x^{3} = 0

3 x^{3} - 24 x = 0

Nun einsetzen:

3 \cdot {(\sqrt{12})}^{3} - 24 \cdot \sqrt{12} = 124.707658145 - 83.1384387633 = 41.5692193817

Doch was sollte mir dies nun sagen. Das ist kein Rechteck. Wie komme ich nun auf das Rechteck? Ich verstehe es nicht

: (

Edddi aktiv_icon

21:19 Uhr, 21.04.2014

Du musst

A (x)

schon noch ableiten und die Ableitung dann null setzen. Dann stellst du nach

x

um ( Das Ergebnis sollte dann zwischen 0 und

\sqrt{12}

liegen)

Dies ist dann deine Extremstelle

x_{E}

. Das Rechteck hat dann die Abmaße

2 \cdot x_{E}

und

g (x_{E}) - f (x_{E})

:-)

Lotta110607 aktiv_icon

21:21 Uhr, 21.04.2014

Hallo :-)

Du musst mit deiner Funktion A(x)=3x³-24x weiter rechnen... also davon die Ableitung bilden, damit du eine Extrema raus bekommst. Und um zu überprüfen, ob es sich um einen Hochpunkt (Maximum) handelt benötigst du die zweite Ableitung von

A (x)

.

LG

KaiserKarl1887 aktiv_icon

22:33 Uhr, 21.04.2014

A (x) = 3 x^{3} - 24 x

A' (x) = 9 x^{2} - 24

9 x^{2} = 24

x^{2} = \frac{24}{9}

x = \sqrt{2,666666666}

x = 1,63299316185

A'' (x) = 18 x

A'' (1,633) = 29.3938769133 \Rightarrow

ein Tiefpunkt

\Rightarrow X E = 1,63299316185

2 \cdot 1,63299316185 = 3.26598632371

g (1,633) = \frac{{1,63299316185}^{2}}{6} - 2 = - 1.55555555556

f (1,633) = 4 - \frac{{1,63299316185}^{2}}{3} = 3.11111111112

= - 1,5555555555 - 3,111111111 = - 4,66666666

sollte ich dies nun als Betrag nehmen?

Dann wäre dies wohl nun 3.26598632371*4,66666666=15.2412694889???

Lotta110607 aktiv_icon

22:52 Uhr, 21.04.2014

Kann es sein, dass in der ersten Antwort von "Edddi" schon ein Fehler ist? Ich glaube man muss die "obere" Funktion minus die "untere" Funktion rechnen... In deinem Fall also, wenn ich das auf dem Bild richtig gesehen habe, müsste das schon f(x)-g(x)heißen... Du suchst je ein Maximum und wie du oben schon richtig genannt hast, hast du bei

A'' (x)

ja gezeigt, dass es sich um ein Minimum handelt...
Sorry das hab ich vorher leider nicht gesehen...

: (

Lotta110607 aktiv_icon

23:22 Uhr, 21.04.2014

Wenn du jetzt

A (x) = x \cdot (f (x) - g (x))

rechnest bekommst du für

A (x) = - \frac{1}{2} \cdot x^{3} + 6 x

und wenn du das dann ableitest und so weiter...kommst du auch darauf, dass es sich um ein Maximum handelt...
Sorry nochmal, dass ich das vorhin nicht gesehen habe... ich hoffe ich konnte dir jetzt weiter helfen.
LG

Ma-Ma aktiv_icon

01:20 Uhr, 22.04.2014

@Eddi: "... auf Grund der Symmetrie brauchst du nur den positiven Bereich beachten. A(x)=x⋅(g(x)-f(x))"
Vergiß das ganz schnell !

@Lotta: "Ich glaube man muss die "obere" Funktion minus die "untere" Funktion rechnen..."
Man kann, muss aber nicht !

"Wenn du jetzt A(x)=x⋅(f(x)-g(x)) rechnest bekommst du für A(x)=-1/2*x3+6x"
Leider nein !

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@Karl:

1)

Schnittpunkte sind richtig.

x = \pm \sqrt{12}

2)

Skizze machen

\to

hast Du

\to

passt.
Rechteck einzeichnen. Fehlt noch.

3) A = a \cdot b

a = 2 x

(Also

x

nach rechts und

x

nach links.)

b = f (x) - g (x) = (4 - \frac{1}{3} x^{2}) - (\frac{x^{2}}{6} - 2) = 4 - \frac{2}{6} x^{2} - \frac{x^{2}}{6} + 2 = 6 - x^{2}

b = 6 - \frac{x^{2}}{2}

A = a \cdot b

A = 2 x \cdot (6 - \frac{x^{2}}{2})

A = 12 x - x^{3}

Extremwert: 1.Ableitung und

A' (x) = 0

A' (x) = 12 - 3 x^{2}

A' (x) = 0

x = \pm 2

x = 2

a = 4

b = 6 - \frac{x^{2}}{2}

b = 4

A = a \cdot b

A = 8

Edddi aktiv_icon

06:10 Uhr, 22.04.2014

@Karl:

Sorry, hatte 'nen Dreher drin. Natürlich ist

A (x) = x \cdot (f (x) - g (x))

. In meinem Fall war

A (x)

jedoch immer nur die halbe Recteckfläche, da ich nur den positiven Bereich berücksichtigt habe.

@Mama:

Warum soll ich die Symmetriegründe vergessen ? Dort wo

A (x)

maximal - ist auch

2 \cdot A (x)

maximal.

:-)

KaiserKarl1887 aktiv_icon

08:57 Uhr, 22.04.2014

Danke ;-)

KaiserKarl1887 aktiv_icon

08:57 Uhr, 22.04.2014

Danke ;-)

Femat aktiv_icon

09:35 Uhr, 22.04.2014

Mögen Hochwürden grosszügig über den Rechenfehler in der letzten Zeile Ihrer Untertanin Ma-Ma hinwegsehen.
Das Quadrat hat sich einmal mehr als das bessere Rechteck erwiesen.

KaiserKarl1887 aktiv_icon

09:48 Uhr, 22.04.2014

A = 4 \cdot 4 = 16

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